Coq 我怎样才能证明她不能证明或交换，只有介绍和应用？

这个问题与我在节假日调查的一个战略游戏（谈判、协议、加密等）设置有关，玩家是Coq用户

其中一些人的推理能力有限，例如，他们只能介绍和应用他们给出的假设或引理

其他一些人可能可以访问陶托

相反，一些理性玩家拥有无限的推理能力，并且知道其他玩家的类型。因此，理性的玩家可以思考其他玩家能证明什么或不能证明什么，并以此为基础为游戏中的下一步做出决定

非理性的玩家永远无法使用CIC条款。因此，我将他们的Ltac语法限制为一致但较小的片段。我还限制了他们的原子战术清单。例如，我不允许使用apply with patterns或其他打开CIC条款大门的变体

在这个问题中，它只是一个由一个点分隔的香草式介绍和应用策略的有限序列

总之，玩家的类型由Ltac语法子集、原子战术列表和游戏开始时给出的一包引理定义

以下是重言式最详细（最小步骤）的证明：

Lemma Or_commutative : forall P Q : Prop, P \/ Q -> Q \/ P.
Proof.
  intro P.
  intro Q.
  intro H.
  elim H.
  intro HP.
  right.
  apply HP.
  intro HQ.
  left.
  apply HQ.
Qed.

很明显，我们需要埃利姆，左右战术。介绍和应用是不够的

问题：我如何证明她不能证明或仅用介绍和应用交换

Goal cannot_prove_or_commutative_with_IAs : ????
Proof.
(* Here I want to show that no sequence of 
vanilla intro and apply tactics can solve the goal*)

(* I may define a structure of proof that is a sequence of intro and apply
and show that after step 3, it will fail or will not change the judgment.
How would I do that ? *)

(* Or should I go to the definitions of intro an apply and show that they cannot
handle OR terms ? *)

(* Or should I investigate plugins to reflect on tactics ? I heard of Mtac2 recently *)

Qed.

---

为了说明这个定理，您需要定义一个Coq数据类型，它捕获您想要使用的命题的语法和相关的推理规则。这可以包含尽可能多的Coq，只要您愿意将其正式化。为了说明你的交换性结果，我们只需要一个简单的命题逻辑，带有析取和蕴涵

Inductive prop : Type :=
| Atomic  : nat -> prop (* Basic propositions *)
| Or      : prop -> prop -> prop
| Implies : prop -> prop -> prop.

Definition commutativity :=
  Implies (Or (Atomic 0) (Atomic 1)) (Or (Atomic 1) (Atomic 0)).

我们可以给这个逻辑一个语义学，把它和Coq中的真理概念联系起来<代码>assn用于解释原子命题：

Fixpoint sem (assn : nat -> Prop) (P : prop) :=
  match P with
  | Atomic x => assn x
  | Or P Q => sem assn P \/ sem assn Q
  | Implies P Q => sem assn P -> sem assn Q
  end.

与使用战术相比，使用蕴涵关系形式化证明更容易、更常见，蕴涵关系表示何时可以从一系列假设中证明定理。以下定义给出了上述片段的所有有用规则：

Require Import Coq.Lists.List.

Inductive entails : list prop -> prop -> Type :=
| Ax : forall P G, In P G -> entails G P
| OrIL : forall G P Q, entails G P -> entails G (Or P Q)
| OrIR : forall G P Q, entails G Q -> entails G (Or P Q)
| OrE  : forall G P Q R,
           entails (P :: G) R ->
           entails (Q :: G) R ->
           entails G (Or P Q) ->
           entails G R
| ImpliesI : forall G P Q,
               entails (P :: G) Q ->
               entails G (Implies P Q)
| ImpliesE : forall G P Q,
               entails G (Implies P Q) ->
               entails G P ->
               entails G Q.

应该可以证明一个可靠性定理，即根据这些推理规则建立的证明产生有效的定理：

Theorem soundness assn G P :
  entails G P ->
  Forall (sem assn) G -> sem assn P.

仅允许

介绍

和

应用

将等同于排除使用

或

，我们可以使用布尔谓词强制执行：

Fixpoint no_destruct {G P} (pf : entails G P) : bool :=
  match pf with
  | Ax _ _ _ => true
  | OrIL _ _ _ pf => no_destruct pf
  | OrIR _ _ _ pf => no_destruct pf
  | OrE _ _ _ _ _ _ _ => false
  | ImpliesI _ _ _ pf => no_destruct pf
  | ImpliesE _ _ _ pf1 pf2 => no_destruct pf1 && no_destruct pf2
  end.

最后，您可以陈述您的元定理：任何交换性证明都必须使用

OrE

规则：

Theorem no_commutativity (pf : entails nil commutativity) : no_destruct pf = false.

---

恕我直言，我不知道这个证明将如何进行。一种可能性是，将你的受限逻辑定义为一种非标准的解释，它验证了所有推理规则，除了<代码> OrE < /代码>，以及<代码>或< /代码>是不可交换的。

我所考虑的游戏所需的数学量实际上比支持逻辑更为复杂。我需要谓词逻辑和真实分析。例如，其中一个博弈是鲁宾斯坦讨价还价模型。这就是为什么我想尽可能接近战术/Ltac。我不知道我怎么能听从你的建议。尽管如此，我还是对你在交换性问题上的回答如此之快和如此之远感到惊讶。尽管更复杂，你也可以用这种方法形式化高阶逻辑。这就是Coq手册定义CIC的方式，例如（）。我不知道有任何发展尝试通过策略形式化证明系统的语义，但我怀疑这将比形式化蕴涵关系更复杂。在任何情况下，您都需要在Coq中形式化一些证明系统，以说明可证明性；否则你将无法陈述你的结果。谢谢亚瑟。顺便说一句，包含项定义中的Ax构造函数有一个错误。我不确定包含项中的OrE构造函数。它不处理P在G中，但不在头部。我最好看一下：在pg->In Q G->includes G R->includes G（或pq）->includes（List.remove P（List.remove Q G））G R。但它也不能成功，因为我的道具类型不相等。@FZed通常，上面的证明系统会验证交换属性，也就是说，如果

蕴涵G P

是可导的，那么

蕴涵G'P

对于

G

的任何排列

G'

也是可导的。使用exchange，可以将您要查找的规则作为派生原则而不是原始原则来实现。