枚举类型的COQ中的相等性

我在COQ中有一个有限枚举类型（比如T），我想检查元素是否相等。这意味着，我需要一个函数

bool beq_T(x:T,y:T)  

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我能够定义这样一个函数的唯一方法是进行个案分析。这会导致大量匹配语句，看起来非常麻烦。因此，我想知道是否有更简单的方法来实现这一点。

坏消息是，实现

beq\T

的程序必须在其两个参数上都包含一个大型匹配语句。好消息是，您可以使用Coq的战术语言自动生成/合成此程序。例如，给定类型：

Inductive T := t0 | t1 | t2 | t3.

您可以如下定义

beq\u T

。前两种

destruct

策略综合了在

x

和

y

上匹配所需的代码。

match

策略检查它所在的匹配分支，根据

x=y

，该策略要么合成返回

true

或

false

的程序

Definition beq_T (x y:T) : bool.
  destruct x eqn:?;
  destruct y eqn:?;
  match goal with 
  | _:x = ?T, _:y = ?T |- _ => exact true
  | _ => exact false
  end.
Defined.

如果要查看合成程序，请运行：

Print beq_T.

谢天谢地，Coq已经提供了一种几乎可以满足您需求的策略。它被称为决定平等性。它自动合成一个程序，该程序决定类型

T

的两个元素是否相等。但是，合成的程序不只是返回布尔值，而是返回两个元素相等的证明

Definition eqDec_T (x y:T) : {x = y} + {x <> y}.
  decide equality.
Defined.

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更简单的是：

Scheme Equality for…

生成两个函数，分别返回一个布尔值和一个sumbool

Definition beq_T' {x y:T} : bool := if eqDec_T x y then true else false.