Coq 卡在一个非常简单的函数的构造中

我正在学习Coq。我被困在一个相当愚蠢的问题上（这个问题没有动机，真的很愚蠢）。我想构建一个从[2，+oo]到映射x到x-3的整数集的函数。这应该很简单。。。在我所知道的任何语言中，这都很简单。但不是在Coq。首先，我写（我解释了很多细节，以便有人能解释我对Coq行为的不理解）

我有一个子目标

  ============================
   forall n : nat, n > 2 -> nat

这意味着Coq需要一个从n>2的证明到整数集的映射。好的我想告诉它，对于某个整数p，n=3+p，然后返回整数p。我写道：

intros n H.

我得到了上下文/子目标

  n : nat
  H : n > 2
  ============================
   nat

那么我假设我已经证明了，对于某个整数p，n=3+p

cut(exists p, 3 + p = n).

我了解上下文/子目标

  n : nat
  H : n > 2
  ============================
   (exists p : nat, 3 + p = n) -> nat

subgoal 2 (ID 6) is:
 exists p : nat, 3 + p = n

我在上下文中通过

intro K.

我获得：

  n : nat
  H : n > 2
  K : exists p : nat, 3 + p = n
  ============================
   nat

subgoal 2 (ID 6) is:
 exists p : nat, 3 + p = n

稍后我将证明p的存在性。现在我想用精确的p完成证明。所以我需要先做一个

destruct K as (p,K).

我得到了错误信息

错误：不允许对分类集进行案例分析 定义

---

我被卡住了。

你完全正确！用任何合理的编程语言编写这个函数都应该很容易，幸运的是，Coq也不例外

在您的情况下，只需忽略您提供的证明参数，就可以更轻松地定义函数：

Definition f (n : nat) : nat := n - 3.

然后你可能会想，“但是等一下，自然数在减法下是不闭合的，所以这怎么可能有意义呢？”。在Coq中，自然数的减法不是真正的减法：它实际上被截断了。如果你试着从2中减去，比如说，3，你得到的答案是0：

Goal 2 - 3 = 0. reflexivity. Qed.

这在实践中意味着，你总是可以“减去”两个自然数，然后得到一个自然数，但是为了让这个减法有意义，第一个参数必须大于第二个参数。然后我们得到如下引理（在中提供）：

现在，

f

将大于

2

的自然数

n

作为参数（

{x:T | px}

形式是标准库中

sig

类型的语法糖，用于形成类似子集的类型）。通过限制参数类型，我们可以编写一个逆函数

finv

，它接受任意

nat

，并返回另一个大于

2

的数字。然后，我们可以证明引理

fK

和

finvK

，它们断言

fK

和

finvK

是彼此相反的

---

关于

f

的定义，我们使用

val

，这是ssreflect的惯用用法，用于从类型的成员中提取元素，例如

{n | 2

。

finv

上的

Sub

函数的作用正好相反，它将自然数

n

打包为

2

并返回

{n | 2

元素。在这里，我们非常依赖这样一个事实：

你可能是说{p | 3+p=n}是一个集合？我不知道Coq的规则禁止使用证明来获得计算内容；我天真地认为这就是Coq背后的想法。无论如何，谢谢你的回答，我一看ssreflect库（可能下周）就会重读一遍。@PhilippeGaucher a
Set
在Coq中只是一种特殊的
类型
。控制
类型
和
道具
之间交互的原因之一是，在提取程序时可以擦除校样。
Goal 2 - 3 = 0. reflexivity. Qed.

le_plus_minus_r : forall n m, n <= m -> n + (m - n) = m

Require Import Ssreflect.ssreflect Ssreflect.ssrfun Ssreflect.ssrbool.
Require Import Ssreflect.ssrnat Ssreflect.eqtype.

Definition f (n : {n | 2 < n}) : nat :=
  val n - 3.

Definition finv (m : nat) : {n | 2 < n} :=
  Sub (3 + m) erefl.

Lemma fK : cancel f finv.
Proof.
move=> [n Pn] /=; apply/val_inj=> /=.
by rewrite /f /= addnC subnK.
Qed.

Lemma finvK : cancel finv f.
Proof.
by move=> n; rewrite /finv /f /= addnC addnK.
Qed.