CoQ中有充分根据的归纳法

假设我知道某些自然数是好的。我知道1是好的，如果n是好的，那么3n是好的，如果n是好的，那么n+5是好的，这些是构造好数字的唯一方法。在我看来，在Coq中，这一点的充分形式化是

Inductive good : nat -> Prop :=
  | g1 : good 1
  | g3 : forall n, good n -> good (n * 3)
  | g5 : forall n, good n -> good (n + 5).

然而，尽管很明显，0不好的事实似乎不能用这个定义来证明（因为当我反转时，在g3的情况下，我只在假设中得到相同的东西）

---

现在，好的数字究竟是什么并不那么明显。我真的不需要为了知道0是不好的而完全描述它们。例如，我可以通过做几次反演就知道2不好。

这个问题需要归纳。归纳法需要一些谓词

P:nat->Prop

来处理。像

（fun=>~good 0）

这样的基本（常量）谓词不会给您带来太多：您将无法证明

1

（对应于构造函数

g1

）的基本情况，因为谓词“忘记”了它的参数

因此，您需要证明一些逻辑等价（或更强）的语句，这些语句很容易为您提供必要的谓词。 这种等价语句的一个例子是

forall n，good n->n>0

，您可以稍后使用它来反驳

good 0

。相应的谓词

P

是

（fun=>n>0）

以下是上述等效性的证明：

Lemma not_good0_gt_zero_equiv_not_good0 :
  (forall n, good n -> n > 0) <-> ~ good 0.
Proof.
  split; intros; firstorder.
  destruct n; [tauto | omega].
Qed.

现在，用来证明所有n，n=0->~good n的相应谓词是

fun=>n=0->False

。这可以通过手动应用Coq自动生成的

goal\u ind

归纳原则来显示：

Example not_good_0_manual : forall n, n = 0 -> ~ good n.
Proof.
  intros n Eq contra.
  generalize Eq.
  refine (good_ind (fun n => n = 0 -> False) _ _ _ _ _);
    try eassumption; intros; omega.
Qed.

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generalize Eq.

引入

n=0

作为当前目标的前提。如果没有它，证明的目标将是

False

，相应的谓词将是无聊的

fun=>False

。

事实上

g3

在试图反驳

好0

时可以被应用无限次。这就是为什么我们认为这个证明需要

归纳法
（我们可以看到@AntonTrunov的解中需要的辅助引理使用归纳法）。同样的思想也被用于的定理
loop\u never\u stop

事实上，“x是3的幂”的正确定义应该是
exists n，n^3==x
Argh。当我试图为StackOverflow简化事情时，就会发生这种情况你的解决方案很好，但当然，问题比这更难：归纳类型中还有其他构造函数，因此它的特征化并不像“3的幂”那么简单。事实上，我不确定是否有一个简单的特征。@ejgallego“2的幂表示形式为2^n的数字，其中n是整数”（from），因此通过类比：
3^k
是3的幂
n^3
是
n
的立方体。哦，是的，真的很抱歉我的打字错误。@Veky，如果你在纸上都不确定，在你知道你想要什么之前（除非我们谈论一些特殊情况）尝试Coq没有什么意义。
记住0，因为n
是这个解决方案的关键组成部分。它将原始语句替换为
forall n，n=0->~good n.
。回答得好@Veky我找到了Sotware基金会讨论这个问题的确切段落（归纳归纳）。@Veky SF，v3.2：“问题在于，对
Prop
的归纳只能在
Prop
的完全通用实例上正常工作，即所有参数都是自由变量的实例。因此，它的行为更像是
destruct
，而不是
inversion
。当你想这样使用
归纳法时，这通常表明你需要证明一些更一般的东西。但在某些情况下，将任何具体的参数提取到单独的方程中就足够了，比如：
∀n、 n=1→漂亮的n
。有一种
记住
策略可以从原始的证明状态生成第二个证明状态。“@AntonTrunov谢谢。因此，唯一神秘的事情似乎是：在
n=1
的上下文中，证明
~美丽的n
的精确方式（这是
记住
要求你做的）”更一般“而不是证明
~beautiful 1
@AntonTrunov这正是我所指的段落，谢谢。指向旧版本的正确链接是。
Lemma not_good0_eq_zero_equiv_not_good0 :
  (forall n, n = 0 -> ~ good n) <-> ~ good 0.
Proof.
  split; intros; subst; auto.
Qed.

Example not_good_0_manual : forall n, n = 0 -> ~ good n.
Proof.
  intros n Eq contra.
  generalize Eq.
  refine (good_ind (fun n => n = 0 -> False) _ _ _ _ _);
    try eassumption; intros; omega.
Qed.

Require Import Omega.

Example not_good_0 : ~ good 0.
Proof.
  intros contra. remember 0 as n. induction contra.
  discriminate. apply IHcontra. omega. omega.
Qed.