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Coq：出现在箭头左侧时，目标变量未通过归纳转换

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Coq：出现在箭头左侧时，目标变量未通过归纳转换,coq,induction,Coq,Induction,我试图用l上的归纳法证明下面的定理。这在纸上是一个简单的定理，但是当我试图用Coq证明它时，我并没有达到我期望的归纳目标 Theorem nodup_app__disjoint: forall {X: Type} (l: list X), (forall l1 l2 : list X, l = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup l. Proof. intros X l. induction l. - intros F. apply

我试图用l上的归纳法证明下面的定理。这在纸上是一个简单的定理，但是当我试图用Coq证明它时，我并没有达到我期望的归纳目标

Theorem nodup_app__disjoint: forall {X: Type} (l: list X),
  (forall l1 l2 : list X, l = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup l.
Proof.
  intros X l. induction l.
  - intros F. apply nodup_nil.
  - (* ??? *)
此时的国家：

1 subgoal
X : Type
x : X
l : list X
IHl : (forall l1 l2 : list X, l = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup l
______________________________________(1/1)
(forall l1 l2 : list X, x :: l = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) ->
NoDup (x :: l)
但这根本不是我所期望的目标！难道不应该用
l=l1++l2
代替
x:：l=l1++l2

以下是我正在处理的命题，以防您想重现问题并亲自查看：

Inductive Disjoint {X : Type}: list X -> list X -> Prop :=
  | disjoint_nil: Disjoint [] []
  | disjoint_left: forall x l1 l2, Disjoint l1 l2 -> ~(In x l2) -> Disjoint (x :: l1) l2
  | disjoint_right: forall x l1 l2, Disjoint l1 l2 -> ~(In x l1) -> Disjoint l1 (x :: l2).

Inductive NoDup {X: Type}: list X -> Prop :=
  | nodup_nil: NoDup []
  | nodup_cons: forall hd tl, NoDup tl -> ~(In hd tl) -> NoDup (hd :: tl).
但这根本不是我所期望的目标！难道不应该用
l=l1++l2
代替
x:：l=l1++l2

简短回答：不应该

列表的归纳原则 让我们回顾一下列表的归纳原则：

Check list_ind.
(*
list_ind
  : forall (A : Type) (P : list A -> Prop),
    P [] ->
    (forall (a : A) (l : list A), P l -> P (a :: l)) ->
    forall l : list A, P l
*)
这意味着为了证明谓词
p
适用于所有列表（
forall l:list a，pl
），需要证明

  • P
    保留空列表--
    P[]
  • P
    适用于所有非空列表，因为它适用于它们的尾部--
    （对于所有（a:a）（l:list a），pl->P（a：：l））
将列表归纳原则应用于目标 现在，我们有以下目标：

(forall l1 l2, l = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup l.
为了了解当我们试图通过归纳法证明
l
的陈述时应该达到什么目标，让我们机械地将上面的
l
替换为
[]
，另一种替换为
h:：tl

[]
案例：

(forall l1 l2, [] = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup [].

(forall l1 l2, h :: tl = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup (h :: tl).

h:：tl
案例：

(forall l1 l2, [] = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup [].

(forall l1 l2, h :: tl = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup (h :: tl).
这是您在上面得到的（以重命名为模）。对于第二种情况，你也得到了归纳假设，我们从原始语句中用
tl
代替
l
：

(forall l1 l2, tl = l1 ++ l2 -> Disjoint l1 l2) -> NoDup tl.
顺便说一句，该定理是可证明的，您可能会发现以下辅助引理很有用：

Lemma disjoint_cons_l {X} (h : X) l1 l2 :
  Disjoint (h :: l1) l2 -> Disjoint l1 l2.
Admitted.

Lemma disjoint_singleton {X} h (l : list X) :
  Disjoint [h] l -> ~ In h l.
Admitted.
我不确定我是否理解你的定理。
中的
l
对于所有l1-l2，l=l1++l2->不相交的l1-l2
似乎没有用。在我看来，归纳方案似乎还可以：由
l
绑定的每个实例都将被
nil
或
x:：l
替换。你能说出你想证明的引理吗？也许你用Coq翻译的不正确？另外，你的引理中可能缺少
NoDup l1
和
NoDup l2
？只是胡乱猜测；）@Vinz前提是，对于列表
l
的任何“切块”，“部分”（
l1
和
l2
）是不相交的。这意味着
l
没有重复项。如果在
l
中有重复项，它的形式将是
l'+[x]++l'+[x]++l'
，这将使我们产生矛盾，因为
l1
=
l'+[x]
和
l2
=
l'+[x]++l'
是不相交的。。好吧，我弄错了。谢谢我想你设法把问题的困难归结为这两个引理，因为我对这两个引理都完全不了解！我需要什么特别的技巧吗？对各种参数的归纳使我一无所获。注意，我重用了标准的
NoDup
谓词。您可能需要使用
记住
策略。