C++ 算法的大O符号

我正忙着做一项作业，我正努力回答一个问题。我知道我不应该直接问作业问题，所以如果我没有得到直接的答案，我会理解。但不管怎样，还是这样

我们必须计算不同算法的运行时复杂性，我一直坚持的是这个

for(int i = 1 ; i < n ; i++)
    for(int j = 0 ; j < i ; j +=2)
        sum++;

当我看这些结果时，O符号似乎应该比O（n）大得多

我们在作业中给出的4个选项是：O（1）、O（n2）、O（n）和O（logn）。正如我之前所说，我看不出它怎么会像O（n2）那么大，但结果表明了这一点。所以我只是觉得我没有完全理解这一点，或者我缺少了一些联系

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任何帮助都将不胜感激

从您的输出看来： 总和~=（n^2）/4

这显然是O（n^2）（实际上可以用teta替换O）。

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您应该还记得Big-O表示法的定义。请参阅。

大O表示法不提供操作数。它只是告诉你，随着投入的增加，它将以多快的速度增长。这就是你观察到的

当您增加输入

c

次数时，操作总数将增加

c^2

如果您精确计算（几乎）精确的操作数，您将得到

（n^2）/4

当然，你可以用和来计算，但因为我不知道如何使用数学，所以我会给出一个“经验”解释。具有相同开始和结束条件的简单循环中的循环给出了

n^2

。这样的循环为

“i”

和

“j”

生成所有可能组合的矩阵。因此，在这两种情况下，如果开始是

1

，结束是

N

，则得到

N*N

组合（或有效的迭代）

但是，您的内部循环用于

i

。这基本上是把这个正方形变成一个三角形，这是第一个

0.5

因子，然后你跳过其他元素，这是另一个

0.5

因子；乘以1/4

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和

O（0.25*n^2）=O（n^2）

。有时人们喜欢把这个因子留在这里，因为它可以让你比较两个复杂度相同的算法。但是它并没有改变相对于

n

的增长率，问题是这里的操作数取决于

n

的平方，即使总数小于n²。尽管如此，缩放对Big-O表示法至关重要，因此它是

O（n²）

记住Big-O是渐近表示法。常数（加法或乘法）对其没有影响

因此，外部循环运行

n次

，而在

i次

时，内部循环运行

i/2次。如果不是
/2
部分，它将是所有数字的总和
1。。n
，这是众所周知的
n*（n+1）/2
。对于非零的
a
，它扩展为
a*n^2+b*n+c
，因此它是
O（n^2）

我们不是对
n
数字求和，而是对
n/2
数字求和。但这仍然在
（n/2）*（（n/2）+1）/2
附近。对于非零的
d
，它仍然扩展为
d*n^2+e*n+f
，因此它仍然是
O（n^2）
：

for (int i = 1 ; i < n ; i++)
    for (int j = 0 ; j < i ; j +=2)
        sum++;

因此，对于
n==2N
，我们有
（n/2）*（n/2+1）
~=
（n*n）/4

<> >代码> o（n）席/席> 
 你对时间复杂度的理解是不恰当的。时间复杂度不仅仅是“和”变量的问题。“和”只计算内环迭代次数的多少，而且还必须考虑外循环迭代的总数。

现在考虑你的程序：

 for(int i = 1 ; i < n ; i++)
    for(int j = 0 ; j < i ; j +=2)
        sum++;

for（int i=1；i

时间复杂度是指程序相对于输入值的运行时间（此处为n）。此处的运行时间并不表示在计算机中执行程序所需的实际时间。实际所需时间因机器而异。因此，要获得独立于机器的运行时间，大O表示法非常有用。Bog O实际上来自数学，它用数学函数来描述运行时间

外部循环总共执行（n-1）次。对于每个（n-1）值（从i=1开始），内部循环迭代i/2次。因此，内部循环迭代的总数=1+1+2+2+3+3+…+（n/2）+（n/2）=2（1+2+3+…+n/2）=2*（n/2（n/2+1））/2=n^2/4+n/2。
同样地，“和+ +”也执行了总共N ^ 2/4 +N／2次。现在考虑程序1行的成本＝C1，行2的成本＝C2和线3＝C3的成本。因此，执行程序所需的总时间=c1*（n-1）+c2*（n^2/4+n/2）+c3*（n^2/4+n/2）=（c2+c3）n^2/4+（c2+c3）n/2+c1*n-c1。因此，所需时间可以用数学函数表示。在大O表示法中，可以说它是O（（c2+c3）n^2/4+（c2+c3）n/2+c1*n-c1）。如果是大O表示法，低阶项和高阶项的系数可以忽略。因为对于n的大值，n^2比n大得多。所以你可以说它是O（（c1+c2）n^2/4）。同样，对于n的任何值，n^2比（c1+c2）n^2/4大一个常数因子，所以你可以说它是O（n^2）。
“j变量是每个循环的两倍。”。我想你误读了
j*=2将加倍
j+=2
增加了2。是的，对不起，这是一个错误类型：）我现在将其编辑掉。它介于O（n）和O（n^2）之间，所以我认为它默认为较大的一个。提示：1+2+…+的和是什么N省略其他术语会如何影响这一点？@Chemistpp
3n*ln
也介于线性和二次之间，即使从技术上讲是在O（n^2）中，这也不是一个严格的界限（这是我们通常谈论的）。它在O（n log n）上。这里的“依赖”仅表示“与成比例”。实际数字还取决于
n
（对于某些c，通过函数f（x）=cx²），但i
0+2+4+6+...+2N == 2 * (0+1+2+3+...+N) == 2 * (N * (N+1) / 2) == N * (N+1)

 for(int i = 1 ; i < n ; i++)
    for(int j = 0 ; j < i ; j +=2)
        sum++;