C++ 在二进制记数法中，小数点后的数字是什么意思&引用；？

我有一个关于如何将基数10转换为IEEE 754浮点表示的示例

Number: 45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2) Sign: 0
Normalized form N = 1.0110101 * 2^5
Exponent esp = 5  E = 5 + 127 = 132 (base 10) = 10000100 (base 2)
IEEE 754: 0 10000100 01101010000000000000000

这对我来说很有意义，除了一段：

45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2)

---

45是二进制的101101，没关系。。但是他们是如何得到0.25 as.01的呢？

以2为基数的分数是.1=1/2，.01=1/4

2.00010=2+1=10.0002
1.00010=2+0=01.0002
0.50010=2-1=00.1002
0.25010=2-2=00.0102

---

0.12510=2-3=00.0012

简单位置值。在base 10中，您有以下位置：

。。。103 102 101 10010-110-210-3

。。。千，百，十，一。十分之一、百分之一、千分之一

类似地，在二进制（基数2）中，您有：

。。。23 22 21 202-12-2-3

。。。八，四，二，一。一半、四分之一、八分之一

因此，二进制中仅次于

的第二位是2-2的单位，大家都知道是1/4（或者0.25）的单位。

其他基数中的“小数”（分数位）令人惊讶地不直观，因为它们的工作方式与整数完全相同

base 10
scinot 10e2  10e1  10e0 10e-1 10e-2 10e-3
weight 100.0 10.0   1.0  0.1   0.01  0.001
value  0     4      5     .2      5      0

base 2
scinot 2e6 2e5 2e4 2e3 2e2 2e1 2e0 2e-1 2e-2 2e-3
weight 64  32  16   8   4   2   1   .5   .25 .125
value   0   1   0   1   1   0   1   .0    1    0   

如果我们从45.25开始，它大于/等于32，所以我们加一个二进制1，然后减去32。
剩下的是13.25，比16小，所以我们添加了一个二进制0。
剩下的是13.25，它大于/等于8，所以我们加一个二进制1，然后减去8。
剩下的是05.25，它大于/等于4，所以我们加一个二进制1，然后减去4。
剩下的是01.25，它小于2，所以我们添加了一个二进制0。
剩下的是01.25，它大于/等于1，所以我们加一个二进制1，然后减去1。
对于整数，我们剩下零，所以我们停止。但是：
剩下的是00.25，小于0.5，因此我们添加了二进制0。
剩下的是00.25，大于等于0.25，所以我们加上一个二进制1，减去0.25。
现在我们有了零，所以我们停止（或者不停，如果你愿意，你可以继续计算零）

请注意，并非所有十进制的“简单”数字都始终达到零停止点。0.1（十进制）转换为基数2，无限重复：0.000110011。。。然而，所有二进制的“简单”数字都会很好地转换成10进制

---

您也可以对分数（2.5）、无理（pi）或甚至虚（2i）基数执行相同的过程，但基数不能在-1和1之间（包括-1和1）。

您可以通过重复乘以新基数（在本例中，新基数为2）将小数点后的部分转换为另一个基数，如下所示：

0.25 * 2 = 0.5

->第一个二进制数字是0（取整数部分，即小数点之前的部分）

继续与小数点后的部分相乘：

0.5 * 2 = 1.0

->第二个二进制数字是1（同样，取整数部分）

这也是我们停止的地方，因为小数点后的部分现在是零，所以没有更多的乘法

因此，分数部分的最终二进制表示为：0.012

编辑：

可能还值得注意的是，二进制表示常常是无限的，即使是从基数为10的有限小数部分开始。示例：将0.210转换为二进制：

0.2 * 2 = 0.4   ->   0
0.4 * 2 = 0.8   ->   0
0.8 * 2 = 1.6   ->   1
0.6 * 2 = 1.2   ->   1
0.2 * 2 = ...

最后我们得到：0.001100110011…2

使用此方法，您很容易看到二进制表示是否最终是无限的。

这样想

（dot）2^-12^-2^-3等

所以

。0/2+1/4+0/8+0/16等

---

参见

您可以将0.25视为1/4

除以2英寸（以2为基数）将小数点向左移动一步，同样，除以10英寸（以10为基数）将小数点向左移动一步。通常，除以M in（基数M），小数点向左移动一步

所以

---

等等。

但是我们不能比较虚数，对吗？@Rotsor:我想我们可以，我只是不知道怎么做。Knuth发现了如何处理无理基：@Rotsor&Mooing Duck:Rotsor是正确的，因为数学不等式（，=）不是为复数定义的。解决此问题的一种方法是使用Knuth的四元虚基，因为复数可以在该虚基中的单个项中写入（示例7+4i（基数10）=10323（基数2i））。然而，以十进制为基数的比较并不总是产生与四元数相同的结果。例如：0>-4（基数10），而0<1000（基数2i）。（-4（以10为基数）=1000（以2i为基数））@nijoakim：很高兴知道数学不等式没有定义，“显而易见”的方式与有理数的比较不匹配。然而，我仍然相信可能存在一种有意义的方法。@MooingDuck:是的，我同意这是完全可能的。自从你发布这篇文章以来，我一直在试图找出其中一个，但结果很难。+1，尽管我觉得将二进制位置称为“八、四…”有点幽默，因为每个位置的值都不超过一个。@David，这是一个很好的观点。我一直在胡说该怎么做，但我用复数来匹配常见的十进制用法，希望能让解释更容易理解。

base 10                  base 2
--------------------------------------
1                      =>      1
1/2 = 0.5              =>    0.1
0.5/2 = 1/4 = 0.25     =>   0.01 
0.25/2 = 1/8 = 0.125   =>  0.001
.
.
.