C++ 方程'a+的积分解；bx=c+；dy`

在方程a+bx=c+dy中，所有变量都是整数<已知代码>a、

b

、

c

和

d

。如何找到

x

和

y

的积分解？如果我的想法正确，将有无限多个解，由

b

和

d

的最小公倍数分隔，但我只需要一个解，其余的我可以计算。下面是一个例子：

a = 2
b = 3
c = 4
d = 5
a + bx: (2, 5,  8, 11, 14)
c + dy: (4, 9, 14, 19, 24)

a + bx intersects c + dy at 14, so:
x = 4
y = 2

现在，我正在循环遍历

x

的整数值，直到找到

y

的整数值（伪代码）：

函数积分解（inta，intb，intc，intd）{ //a+bx==c+dy //（a+bx-c）/d==y //有些参数可能没有积分解， //例如，如果b==d和（a-c）%b！=0 //如果在x==d之前没有解，那么就没有解。 int x=0； while（x 我觉得有更好的办法。有没有办法在没有循环的情况下找到x和y？我使用C++，如果这是重要的。< /P> < P>方程采用形式>代码> AX+BI= C < /代码>。如果

c

是

a

和

b

的最大公约数，这意味着

a=z'c

和

b=z'c

，则其形式如下

随着

a=z'

和

b=z'

的变化，方程有无穷多的解。因此，如果

c

是

a

和

b

中的最大公约数（GCD），您可以检查而不是尝试搜索方法（在您的例子中，这转换为

bx-dy=c-a

）

如果

a

和

b

确实是

c

的倍数，那么

x

和

y

就可以计算出满足贝佐特恒等式的整数

x

和

y

（其中一个通常为负数）

你的答案是：

a=k*x

，

b=k*y

，

c-a=k*gcd（a，b）

用于任何整数k

（作为旁注：这也适用于任何其他情况，即多项式环&每个欧几里德域都是）。您可以使用迭代法找到以下解决方案：

---

迭代法 通过对类似项进行扩展和分组的常规代数（参见前面提到的最后一节），得到迭代法的以下算法：

• 一,。应用欧几里德算法，让qn（n从1开始）是除法中商的有限列表
• 二,。分别将x0、x1初始化为1、0和y0、y1初始化为0,1。
  • 2.1对于每个i，只要定义了qi
  < Li > 2.2计算席+ 1＝席−1.− 祁西
  • 2.3计算yi+1=yi−1.− 七一
  • 2.4在i增加1后重复上述步骤
• 三,。答案是xn和yn中倒数第二个

伪代码：

function integral_solution(int a, int b, int c, int d) {
    // a + bx == c + dy
    // (a + bx - c) / d == y

    // Some parameters may have no integral solution,
    // for example if b == d and (a - c) % b != 0
    // If we don't have a solution before x == d, there is none.

    int x = 0;
    while (x < d)
    {
        if ((a + bx - c) % d == 0)
        {
            return [x, (a + bx - c) / d];
        }
        x++;
    }
    return false;
}

function extended_gcd(a, b)
    x := 0    lastx := 1
    y := 1    lasty := 0
    while b ≠ 0
        quotient := a div b
        (a, b) := (b, a mod b)
        (x, lastx) := (lastx - quotient*x, x)
        (y, lasty) := (lasty - quotient*y, y)       
    return (lastx, lasty)

因此，我编写了一个示例算法，该算法使用欧几里德算法迭代法计算非负

a

和

b

（对于负-需要额外的步骤），它返回GCD并将

x

和

y

的解决方案存储在通过引用传递给它的变量中：

int gcd_iterative(int a, int b, int& x, int& y) {
    int c;
    std::vector<int> r, q, x_coeff, y_coeff;
    x_coeff.push_back(1); y_coeff.push_back(0);
    x_coeff.push_back(0); y_coeff.push_back(1);

    if ( b == 0 ) return a;
    while ( b != 0 ) {
            c = b;
            q.push_back(a/b);
            r.push_back(b = a % b);
            a = c;
            x_coeff.push_back( *(x_coeff.end()-2) -(q.back())*x_coeff.back());
            y_coeff.push_back( *(y_coeff.end()-2) -(q.back())*y_coeff.back());
    }
    if(r.size()==1) {
        x = x_coeff.back();
        y = y_coeff.back();
    } else {
        x = *(x_coeff.end()-2);
        y = *(y_coeff.end()-2);
    }
    std::vector<int>::iterator it;
    std::cout << "r: ";
    for(it = r.begin(); it != r.end(); it++) { std::cout << *it << "," ; }
    std::cout << "\nq: ";
    for(it = q.begin(); it != q.end(); it++) { std::cout << *it << "," ; }
    std::cout << "\nx: ";
    for(it = x_coeff.begin(); it != x_coeff.end(); it++){ std::cout << *it<<",";}
    std::cout << "\ny: ";
    for(it = y_coeff.begin(); it != y_coeff.end(); it++){ std::cout << *it<<",";}
    return a;
} 

r:5,3,2,1,0

问：5,4,1,1,2

x:1,0,1，-4,5，-9,23

y:0,1，-5,21，-26,47，-120

与本例给定表格一致的内容：

---

谷歌“丢番图方程”。这是数学的一个完整分支。在这里复制它没有真正的意义。快乐阅读！你有上面x或y的范围吗？域是否有任何限制？您希望实现什么？找到解决办法了吗？还是x/y的给定范围？@Bathsheba谢谢你的指点。我来看看。@computer不，任何x和y都可以返回，我会用模做一些事情来得到我想要的值。哇，伙计，你在这方面比你自己做得好。谢谢，我很感激！

int main(int argc, char** argv) {   
    // 120x + 23y = gcd(120,23)
    int x_solution, y_solution;
    int greatestCommonDivisor =  gcd_iterative(120, 23, x_solution, y_solution);
    return 0;
}