C++ （质量）相加/减法的精度误差

如何以避免精度错误的方式缓存特定列表中所有浮点值的总和

例子 我有很多物理形状：

m1

，

m2

，

m3

，…
这些形状结合在一起形成一个巨大的物体，其质量

M

=

m1

+

m2

+

m3

+..
我必须经常请求大物体的质量，所以我缓存

M

现在，我有责任根据需要更新

M

当我添加质量为mi的形状时：-

M += mi;

M -= mi;

当我移除质量为mi的形状时：-

M += mi;

M -= mi;

问题 程序添加/删除形状一段时间后，

M

距离正确的总和越来越远。（

m1

+

m2

+

m3

+..）

结果，我的程序最终执行异常。
毫无疑问，如果某对

mi

和

mj

的质量比非常低或非常高，症状会更快地表现出来

问题: 如何从专业角度缓解这一数字问题

换句话说：-
我是否应该一开始就不缓存求和，

M

我是否应该在每次添加/删除小形状后（以暴力方式）或（可能）在某些调用方请求

M

之前重新计算求和

---

我读过，它只能推迟问题。

问题是，如果指数不同，浮点结果是顺序相关的。例如，如果你

1e0 + 1e20 - 1e20

你会得到

0.0

因为

1e0+1e20==1e20

。但如果你这么做了

1e20 - 1e20 + 1e0

你会得到

1e0

所以一般来说，你应该把质量加起来，永远不要减法。并应首先将最低值相加，以便它们有可能影响最终结果。如果先求最大值的和，那么小值永远不会改变和

根据需要添加的数量，可以将体量缓存到组中，只对受影响的组重新求和，然后合并组的体量。我假设这里有很多实体，所以求和可能会很昂贵（例如，你要添加一百万个实体或类似的东西）

---

但是，如果您只是对一个小数字求和，那么可能不值得对其进行优化。您应该先编写代码，这样才能正常工作，然后对其进行分析以找到热点。如果你在做物理模拟，除法或平方根之类的东西要比加法昂贵得多。

基本问题是你假设浮点类型（

浮点型、
双精度型或你正在使用的任何类型）代表实数。它们不是——它们代表了一个离散近似。。。。
double
的精度通常为15-17位有效数字，而
float
的精度通常为7或8位有效数字

这意味着您存储的许多值将大致存储（即与您想要的值相比存在相关错误）。例如，
0.1
不能准确地存储在浮点中（因为它不能表示为
2
的负幂之和-实际上，这就是浮点类型中尾数的典型表示方式）

下一个影响是错误传播。任何加法、减法、乘法、除法、幂运算等操作数都有潜在的错误，这些错误会在结果中传播——可能放大，也可能衰减。处理这一问题的“专业”方法是命令操作以减少错误的传播（并预测产生的错误是什么，而不是假设精确的计算）

第三个影响是，加上或减去大小值会产生误差。因此
1.0
+
1.0e25
将给出
1.0e25
的结果。重复进行加法以获得结果，然后进行减法和再加法以保持值，这会传播这些类型的错误—操作顺序同样重要。因此
1.0+1.0e25-1.0e25
（假设从左到右进行操作）将给出（近似）零的结果，而
1.0e25-1.0e25+1.0
将给出（近似）1.0
的结果。这可能就是你们所看到的（因为物理计算中的质量可能很大，也可能很小）。解决方案不是以您目前的方式尝试优化结果，而是每次重新进行加法，或者以某种方式对质量（和其他相关计算）进行排序。这是一个值得接受的例子，它可以减少错误计算的机会。
 < P>如果你知道质量的范围，你可以考虑使用不动点算法，并且使用 In64×t < /Cord>这将给你19.5位数的精度，而且只要你从不溢出，求和和和减法可以按任何顺序进行，而且总是精确的。
标准方法是对中间结果使用更高的精度。例如，如果输入为浮动

，则使用双精度。您将失去double的精度，但浮点值将保持不变。@GMichael-double可以使问题不那么严重，但您可以尝试使用

float

或

double添加1e0+1e20，但仍然会得到错误的答案（即，您将得到
1e20
，而不是1000000000000000001）@MarkLakata我看到了您的答案。你理论上是对的。但这与实践无关。没有人会把质子和太阳的质量相加。任何实验都是在相同的质量范围内进行的，因此，我的答案是相关的。问题不是把质子和太阳相加，而是把许多质子相加。如果结果是
float
，则只需将1e8个质子相加，就可以得出错误的总和。是的，你可以把它扩展到1e16质子，如果