C++ 最小对和

给定2D平面中的2N个点，必须将它们分组为N对，以使所有对点之间的距离总和为最小可能值。所需输出仅为总和。

换句话说，如果a1、a2、…an分别是第一对、第二对…和第n对点之间的距离，则（a1+a2+…an）应为最小值。

让我们考虑这个测试用例，如果<强> 2×5 < /强>点是： {20,20}， {40, 20}, {10, 10}, {2, 2}, {240, 6}, {12, 12}, {100, 120}, {6, 48}, {12, 18}, {0,0}

所需输出为237

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这不是我的家庭作业，我对不同的方法很好奇，而不是暴力。

你似乎在寻找

有一些算法可以利用这些是平面上的点这一事实。本文：有一个算法，并提到了一些以前的工作

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根据要求，这里简要介绍了一种用于图中最小加权完美匹配的“简单”算法。这是Papadimitriou&Steiglitz的《组合优化、算法和复杂性》一书中关于加权匹配章节的一个简短总结

假设给定了一个加权无向图G（具有偶数个节点）。通过添加缺失的边并赋予它们很大的权重，该图可以被视为一个完整的加权图

假设顶点标记为1到n，顶点i和j之间的边的权重为c（i，j）

我们有n（n-1）/2个变量x（i，j），表示G.x（i，j）=1的匹配，如果i和j之间的边在匹配中，则x（i，j）=0

现在，匹配问题可以写成线性规划问题：

最小化和c（i，j）*x（i，j）

条件是

和x（1，j）=1，其中j的范围为1到n

和x（2，j）=1，其中j的范围为1到n。 . .

和x（n，j）=1，其中j的范围为1到n

（和x（1，j）=1基本上意味着我们正选择一条边入射到标记为1的顶点。）

最后的条件是

x（i，j）>=0

（我们可以说x（i，j）=0或1，但这不会使其成为线性规划问题，因为约束条件是线性方程或不等式）

有一种称为单纯形法的方法可以解决这个线性规划问题，从而在多项式时间内给出变量数的最优解

现在，如果G是二部的，我们可以得到一个最优解，使得x（i，j）=0或1。因此，通过求解二部图的线性规划问题，我们得到了每个x（i，j）的一组赋值，每个赋值为0或1。我们现在可以通过拾取x（i，j）=1的边（i，j）来获得匹配。约束保证它将是具有最小权重的匹配

不幸的是，对于一般图（即x（i，j）为0或1）来说，情况并非如此。Edmonds发现这是因为图中存在奇数圈

因此，除了上述限制外，Edmonds还增加了一个额外的限制，即在大小为2k+1（即奇数大小）的顶点的任何子集中，匹配边的数量不超过k

枚举每个奇数顶点子集以获得集合S（1），S（2），…，S（2^n-n）的列表。设S（r）的大小为2*S（r）+1

然后，对于每个集合S（r），上述约束为

和x（i，j）+y（r）=s（r），对于s（r）中的i，j

Edmonds随后证明，这足以保证每个x（i，j）为0或1，从而为我们提供了最小重量的完美匹配

不幸的是，现在变量的数量已经成了指数大小。因此，单纯形算法，如果按原样运行，将导致指数时间算法

为了克服这个问题，Edmonds考虑了这个线性规划问题的对偶问题（我在这里不详细介绍），并证明了在对偶问题上运行原始对偶算法只需O（n^4）步就可以得到一个解，从而为我们提供了一个多项式时间算法！他通过证明y（r）的O（n）在算法的任何一步（他称之为flowers）都不为零来证明这一点

这里有一个链接，它应该更详细地解释一下：，第2节

我之前提到的那本书值得一读（尽管它可能有点枯燥），以获得更深入的理解

呸。希望有帮助

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您的最终总和将主要由最大的加数控制。利用这一点的最简单算法可能是这样的（我无法证明）：

按最近邻距离对点进行降序排序

第一个条目及其最近邻的表单对

从列表中删除对

如果列表不为空，转到1

这应该经常奏效

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因为您本质上是在为2个集群寻找一个聚类算法，或者搜索一个可能很有趣的。实验粒子物理界的人们正在研究类似问题的启发式算法。

在谷歌搜索了一段时间后，我发现了一些关于最小权重完美匹配算法的其他参考资料，这些算法可能更容易理解（至少在一定程度上更容易理解）

编辑

这些算法之一。它有837行代码（+一些额外的单元测试），我没有亲自尝试。但也许你可以把它用在你的案子上

对问题的近似算法。当然，这张纸的风格也是数学的，但我觉得比库克和罗厄的纸更容易理解。它在前言中说，它的目的正是为了比Edmond的原始算法更容易实现，因为你不需要线性算法