C++ 从欠定系统中去除不可解方程

我的程序试图解线性方程组。为此，它将矩阵

系数矩阵

和向量

值向量

组合起来，并使用特征值来求解它们，如下所示：

Eigen::VectorXd sol_vector = coeff_matrix
        .colPivHouseholderQr().solve(value_vector);

问题是，这个系统既可能被过度确定，也可能被低估。在前一种情况下，Eigen给出了正确或不正确的解，我使用

coeff\u matrix*sol\u vector-value\u vector

检查该解

请考虑以下方程组：

a + b - c     =  0
        c - d =  0
        c     = 11
      - c + d =  0

在这种特殊情况下，Eigen正确地求解了后三个方程，但也给出了

a

和

b

的解

我想实现的是，只有只有只有一个解的方程会被解，剩下的方程（这里的第一个方程）会保留在系统中

换句话说，我在寻找一种方法，找出在给定的方程组中，哪些方程可以求解，哪些不能，因为会有多个解

你能提出实现这一目标的好方法吗

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编辑：请注意，在大多数情况下，矩阵不是正方形的。我在这里又增加了一行，只是为了说明过度决定也可能发生。

您需要的是计算系统的行列式。如果行列式为0，则有无穷多个解。如果行列式很小，那么解是存在的，但我不相信计算机找到的解（它会导致数值不稳定）

以下是关于什么是决定因素以及如何计算它的链接：

请注意，高斯消去法也应起作用： 使用此方法，如果有无限多个解，则最终将得到0行

编辑

如果矩阵不是正方形，首先需要提取一个正方形矩阵。有两种情况：

你有比方程更多的变量：那么你要么没有解，要么有无限多的解

方程比变量多：在这种情况下，找到一个非空行列式的方子矩阵。求解此矩阵并检查解决方案。如果解决方案不合适，就意味着你没有解决方案。如果解合适，这意味着额外的方程与提取的方程线性相关

在这两种情况下，在检查矩阵的维度之前，请删除只有0的行和列

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至于高斯消去法，它应该直接用于非平方矩阵。但是，这一次，您应该检查非空行（即具有一些非0值的行）的数量是否等于变量的数量。如果它少，你就有无穷多的解，如果它多，你就没有任何解。

我想你想要的是，它会给你你想要的。奇异值分解后，“只有一个解的方程组将被求解”，并且解是伪逆的。它还将为您提供零空间（无限解来自何处）和左零空间（不一致性来自何处，即无解）。

根据SVD注释，我可以这样做：

Eigen::FullPivLU<Eigen::MatrixXd> lu = coeff_matrix.fullPivLu();

Eigen::VectorXd sol_vector = lu.solve(value_vector);
Eigen::VectorXd null_vector = lu.kernel().rowwise().sum();

Eigen:：FullPivLU lu=coeff_matrix.FullPivLU（）；
特征：：VectorXd sol_vector=lu.solve（值_vector）；
特征：：VectorXd null_vector=lu.kernel（）.rowwise（）.sum（）；

AFAICS中，对应于单个解的

null\u向量

行为

0

s，而对应于非确定解的行为

1

s。我可以用默认的treshold特征值在我所有的例子中重现这一点

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但是，我不确定我是否做了正确的事情，或者只是注意到了一个随机模式。

行列式仅在平方矩阵中有效。@MichałGórny我编辑了非平方情况下的解。但只有平方矩阵才有唯一的解。另外，你的例子是一个平方矩阵，我的例子也是一个超定矩阵，其中两个变量有唯一的解。没有什么是那么简单的。。。顺便说一句，我也在想类似的事情，但我担心所有的计算都会使求解效率非常低。你能给我指一些能帮助我理解如何使用它的页面或文档吗？维基百科讲了很多数学…实际上学习SVD需要相当多的数学，SVD是线性代数的高潮。我只是在谷歌上搜索了一些介绍，看，还有。谢谢。我在空空间中移动了一点，组装了一些东西，并将其粘贴为解决方案（因为注释对实际代码不好）。不确定我是真的发明了什么，还是仅仅是一个随机模式。如果我正确地记住了我的线性代数，它似乎是正确的。我曾在应用线性代数考试中使用过类似的技巧，我们被允许使用matlab，但必须一步一步地解决问题。