C++ 一个简单无向图的表示

我需要你的专业知识：

我将在C++中实现一个图形类，并考虑正确的表示。这些图简单且无向。顶点数量目前仅为1000个，但将来可能会更高。边缘数高达200k或更高。每个顶点都有一个颜色（int）和一个id（int）。边传输的信息不比连接到顶点传输的信息多

我存储图形，只需要访问x和y是否连接——这是我经常需要的。 初始化后，我从不删除或添加新的顶点或边（N=顶点数，M=从一开始给定的边数）

我已经可以使用的一个表示：

邻接列表展开为一个长列表。与此表示一起出现的还有一个数组，每个顶点都有起始索引。存储O（2M）并检查x和y之间的边缘是否平均为O（n/m）

我想到的一个代表：

这样做的目的不是将邻接列表展开为一个数组，而是使用邻接矩阵。那么存储O（N^2）？是的，但我想将边存储在一位中，除了一个字节。（实际上是对称的两位） 示例：假设N=8，然后创建一个长度为8（64位）的向量。初始化0上的每个条目。如果顶点3和顶点5之间有一条边，则将pow（2,5）对称地添加到属于顶点3的向量条目中。因此，在顶点5的位置，顶点3的入口中有一个1，正好在3和5之间有一条边。在将我的图插入这个数据结构之后，我认为人们应该能够通过一个二进制操作在恒定时间内访问邻域：3和5是连通的吗？如果v[3]^pow（2,5）==0，则为是。当有超过8个顶点时，每个顶点需要在向量中获得多个条目，我需要执行一个模和一个除法操作来访问正确的点

您对第二种解决方案有何看法？它可能已经被知道并正在使用吗？ 我认为访问O（1）是错误的吗？ 如果没有真正的绩效改进，是否需要付出太多的努力

在一个大列表中加载这两个表示的原因是缓存的改进

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我很高兴得到一些关于这个想法的反馈。我可能有点不对劲了——在这种情况下，请友好一点：D

如果你选择一个位矩阵，那么内存使用量是O（V^2），所以大约1Mb位或128KB，其中只有不到一半是重复的

如果你把一个边O（E）数组和另一个索引数组从顶点到第一条边，你使用200K*sizeof（int）或800KB（更大），其中一半是重复的（A-B和B-A是相同的），实际上可以保存。如果您知道（或可以将其模板化），顶点的数量可以存储在

uint16\t

中，则可以再次保存一半

要保存一半，只需检查哪个顶点的数字较低，并检查其边

要确定何时停止查找，请在下一个顶点上使用索引

所以对于你的数字来说，使用一点矩阵是好的，甚至是好的

第一个问题出现在（V^2）/8>（E*4）时，尽管边缘算法中的二进制搜索仍然比检查位慢得多。如果我们设置E=V*200（1000个顶点vs 200K条边），就会出现这种情况

这将是5120000~5MB，很容易适应现在的三级缓存。如果连通性（此处为每个顶点的平均连接数）高于200，则更好

检查边缘还将花费lg2（连通性）*K（预测失误），这将变得相当陡峭。检查位矩阵将是O（1）

除其他外，您还需要测量位矩阵何时显著破坏L3，而边列表何时仍然适合L3，以及它何时溢出到虚拟内存中

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换句话说，在高连通性的情况下，位矩阵应该比连通性低得多或顶点数高得多的边缘列表更快。

如果使用位矩阵，则内存使用量为O（V^2），因此约1Mb位或128KB，其中只有略少于一半的位是重复的

如果你把一个边O（E）数组和另一个索引数组从顶点到第一条边，你使用200K*sizeof（int）或800KB（更大），其中一半是重复的（A-B和B-A是相同的），实际上可以保存。如果您知道（或可以将其模板化），顶点的数量可以存储在

uint16\t

中，则可以再次保存一半

要保存一半，只需检查哪个顶点的数字较低，并检查其边

要确定何时停止查找，请在下一个顶点上使用索引

所以对于你的数字来说，使用一点矩阵是好的，甚至是好的

第一个问题出现在（V^2）/8>（E*4）时，尽管边缘算法中的二进制搜索仍然比检查位慢得多。如果我们设置E=V*200（1000个顶点vs 200K条边），就会出现这种情况

这将是5120000~5MB，很容易适应现在的三级缓存。如果连通性（此处为每个顶点的平均连接数）高于200，则更好

检查边缘还将花费lg2（连通性）*K（预测失误），这将变得相当陡峭。检查位矩阵将是O（1）

除其他外，您还需要测量位矩阵何时显著破坏L3，而边列表何时仍然适合L3，以及它何时溢出到虚拟内存中

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换句话说，在高连通性的情况下，位矩阵应优于连通性更低或顶点数更多的边缘列表。边缘列表可能更快。

具有200000条边缘的1000x1000矩阵将非常稀疏。由于图形是无向的，矩阵中的边将被写入两次：

VerticeA -> VerticeB   and   VerticeB -> VerticeA

你最终会填满矩阵的40%，剩下的将是空的

VerticeA -> VerticeB and VerticeB -> VerticeA

std::vector<std::vector<bool>> matrix(1000, std::vector<bool>(1000, false));

if( matrix[3][5] )
{
    // vertice 3 and 5 are connected
}
else
{
    // vertice 3 and 5 are not connected
}

std::vector<int> colors(1000);

1000 * sizeof(int) = 4000 B ~ 4 kB (3.9 kB)

std::unordered_map<int, int> map;

map[4] = 5;            // assign color 5 to vertice 4
std::cout << map[4];   // prints 5

1000 * 2 * sizeof(int) = 8000 B ~ 8 kB (7.81 kB)