如何求近似奇异矩阵的逆？ 我用C++和CUDA实现了一个算法。但当我试图找到一个特殊矩阵的逆矩阵时，我遇到了麻烦。 该矩阵具有以下特点： 它是一个方阵（假设：（m+3）x（m+3），m>0） 其转置矩阵是其自身 其主对角线必须为零 它必须在右下角有一个3x3的零矩阵 你可以在这个形式中考虑这个矩阵：H= [A，B，B’，0 ]；

我尝试了一些方法，但都失败了：

伪逆矩阵：

我最初使用matlab，当我尝试使用inv（H'*H）时得到错误或警告：警告：矩阵对工作精度是奇异的或矩阵接近奇异或缩放不良

一些近似方法：

参考资料在这里：我发现了两种方法：高斯-乔丹消去法和Cholesky分解法。当我在matlab中尝试chol时，我得到了以下错误：矩阵必须是正定的

---

有人能给我一些建议吗？

伪逆矩阵是

inv（H'*H）*H'

，因为

H

的条件数非常高（try

cond（H）

），你可能需要一个正则化因子来获得伪逆矩阵：

inv（H'*H+lambda*eye（size（H））*H'

。λ

越小

，这种估计将获得越低的偏差。但是

lambda

的值太小将导致高方差（病态）。你可以试一套最合算的衣服

当然，您可以直接使用

pinv（H）

。之所以

pinv（H）*H~=eye（size（H））

是因为

pinv（H）

只是秩低于

size（H，1）

的矩阵的逆的近似值。换句话说，

H

中的列不是完全独立的

我想向您展示一个非常简单的示例：

>>a =

     0     1     0
     0     0     1
     0     1     0

  pinv(a) * a
>>
   ans =

     0         0         0
     0    1.0000         0
     0         0    1.0000
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
>>a =  
     1     0
     0     1
     1     0

 pinv(a) * a
>>

 ans =

1.0000         0
     0    1.0000

---

注

a*pinv（a）

不是单位矩阵，因为

a

的列是线性独立的，而不是

a

的行。查看此项了解更多详细信息。

最好了解有关特定问题的更多信息，特别是如果您需要求逆，或者只需要求线性方程组的逆。我会尽力给你两种情况的说明

让我从考虑矩阵几乎是奇异的开始，因此系统是病态的

确定近似奇异矩阵的逆

正如上面的评论和回答中所阐明的，寻求近似奇异矩阵的逆是毫无意义的。有意义的是构造矩阵的正则化逆。您可以借助矩阵的谱分解（奇异值分解，或SVD）来实现这一点。更详细地说，您可以构造奇异系统，删除作为矩阵近似奇异行为来源的最低有效奇异值，然后使用奇异值和向量形成近似逆。当然，在这种情况下，

A*A_inv

只会给出单位矩阵的近似值

如何在GPU上实现这一点？首先，让我说，在C++或CUDA中实现SVD算法绝不是一项简单的任务。您应该根据所需的精度选择几种技术，例如，确定奇异值。不管怎样，Matlab有一套。另外，和是两个提供SVD计算例程的库。此外，您可以考虑使用也提供线性代数例程，包括SVD。 将一个近乎奇异的系统反转

在这种情况下，你应该考虑使用某种吉洪诺夫正则化，它包括将线性系统的反演公式化为一个优化问题，并增加一个正则化项，这可能取决于你已经知道的关于未知函数的特征。 对于以上两种情况，我建议阅读一些理论。书

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如果您必须找到近似的逆，或者如果您有显式地反转线性系统，这将非常有用。

通过“伪逆”您指的是由

pinv

计算的摩尔-彭罗斯伪逆吗？我不知道你在用inv（H'*H）做什么，但它看起来不像伪逆。@horchler，我只是按照伪逆矩阵的说明：1.得到转置：H'；2.矩阵乘法：H'*H；3.计算新矩阵的逆：inv（H'*H）；4.获取H:inv（H'*H）*H'@horchler的伪逆矩阵，我尝试了pinv（）来获取逆矩阵：H_inv，但奇怪的是H*H_inv不是单位矩阵。这只是我算法的一步。所以，使用像pinv（）这样的东西可能会给我带来潜在的bug…好的。这是一种天真的计算方法，警告是意料之中的。通常使用

svd

–键入

edit pinv

查看使用的代码。伪逆的全部要点是它不是真逆（当无法获得时使用），因此您不应该期望

H*pinv（H）

是单位矩阵。相反，根据文档和定义：

H*pinv（H）*H

equals

H

和

pinv（H）*H*pinv（H）

equals

pinv（H）

@oilpig，我怀疑你的矩阵在结构上是奇异的，在这种情况下你无法将它们反转。但是我没有找到一个证明…我想用C++和CUDA来实现整个过程。当我在matlab中键入“edit pinv”时，我知道它使用SVD（），但它是一个内置函数，我看不到详细信息。那么，你有什么想法用C++实现这个功能吗？是的，你的资料很有用！非常感谢，我知道opencv有自己的函数来计算伪逆矩阵：cv:：invert。那么，你能告诉我吗