C++ C++；：斐波那契的三个递归实现。时间/空间的复杂性是什么？

我对斐波那契序列的三个版本进行了编码，但我不太确定它们的时间/空间复杂性（以及原因）：

变体1：头部递归

 int fibonacci_h(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) {
    return 1;
  }
  return fibonacci_h(n - 1) + fibonacci_h(n - 2);
}

int fibonacci_t(int n, int s_last = 0, int last = 1) {
  if (n == 1) {
    return last;
  }
  return fibonacci_t(n - 1, last, s_last + last);
}

变体2：尾部递归

 int fibonacci_h(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) {
    return 1;
  }
  return fibonacci_h(n - 1) + fibonacci_h(n - 2);
}

int fibonacci_t(int n, int s_last = 0, int last = 1) {
  if (n == 1) {
    return last;
  }
  return fibonacci_t(n - 1, last, s_last + last);
}

变体3：带缓存的头递归

int fibonacci_hash(int n, unordered_map<int, int>* fib_hash = new unordered_map<int, int>{{1, 1},{2, 1}}) { 
  if((*fib_hash).find(n)!=((*fib_hash).end())){
    return  (*fib_hash)[n];
  }
  int result = fibonacci_hash(n - 1, fib_hash) + fibonacci_hash(n - 2, fib_hash);
  (*fib_hash)[n] = result;
  return result;
} 

int main() {
  int n = 10;
  cout << fibonacci_h(n) << endl;
  cout << fibonacci_t(n) << endl;
  cout << fibonacci_hash(n) << endl;
} // Output: 55

intfibonacci\u hash（intn，无序映射*fib\u hash=新的无序映射{{1,1}，{2,1}）{
if（（*fib_hash.find（n）！=（（*fib_hash.end（）））{
返回（*fib_hash）[n]；
}
int result=fibonacci_散列（n-1，fib_散列）+fibonacci_散列（n-2，fib_散列）；
（*fib_hash）[n]=结果；
返回结果；
} 

用法

int fibonacci_hash(int n, unordered_map<int, int>* fib_hash = new unordered_map<int, int>{{1, 1},{2, 1}}) { 
  if((*fib_hash).find(n)!=((*fib_hash).end())){
    return  (*fib_hash)[n];
  }
  int result = fibonacci_hash(n - 1, fib_hash) + fibonacci_hash(n - 2, fib_hash);
  (*fib_hash)[n] = result;
  return result;
} 

int main() {
  int n = 10;
  cout << fibonacci_h(n) << endl;
  cout << fibonacci_t(n) << endl;
  cout << fibonacci_hash(n) << endl;
} // Output: 55

intmain（）{
int n=10；
cout进行天真递归的一个——你称之为头递归——是指数型的，O（2^n）。另外两个是O（n）。不过，记忆递归和尾递归都是O（n）空间。前者的哈希表大小是O（n），后者的调用堆栈深度是O（n），没有尾部递归优化。使用尾部递归优化，基本上是编译成迭代版本，其中O（n）时间和O（1）空间。
正如我所提到的-你的“头部”版本的时间复杂度是Θ（（1+sqrt（5））/2）^n~=Θ（1.618^n）。这与


渐近地，（a+b）/a=a/b，即1+b/a=a/b；和（1+sqrt（5））/2是这个方程的解。显然，这也是海螺在自然界的特征

“head”版本的空间复杂度为Θ（n），因为这是由递归的最大深度决定的（每个级别的深度增加另一个恒定数量的局部变量和堆栈信息）

我忽略了进入单个整数的对数（n）位。也就是说，如果你想变得超级学究，你实际上应该用对数（n）时间乘以一切。
你是说：1.时间O（2^n）/空间O（n）（据我所知，指数函数的阶数是不等价的，所以你应该说什么样的指数函数对吗（n） /Space O（n）我不太确定这个例子的空间复杂度，因为tail不会使调用堆栈复合（基本情况的返回结果是所有链式递归调用的返回）。为什么这不是O（1）？3.时间O（n）/Space O（n）是的，tail递归调用不会是O（n）空间给定的尾部递归优化。但无论如何，就时间而言，1是O（2^n），另外两个是O（n）。所以在空间中：1.O（n）2.O（1）3.O（n）？说2.不是O（n），并不能确认它是O（1）。是的，如果你把堆栈作为“空间”的一部分计算我相信这是标准的，如果尾部递归的编译器使用尾部递归优化。你知道计算fibo（n）的另一种方法是迭代地做它，即O（n）时间O（1）空间。还有一种方法可以在log（n）中计算它时间使用比奈公式。第二个版本是从优化级别-O2向上。因此它将在恒定空间中运行。我不确定仅仅因为fibo（n）可以用phi^n近似，这意味着原始递归版本的运行时间是O（phi^n）。phi^n近似于fibo（n）的值但是这个值在递归实现中没有出现。我在声明2^n中得到2的地方是每个“级别”递归函数的递归调用次数将是以前级别的两倍。因此问题是将有多少个级别…这实际上类似于n的log base phi。因此运行时间更像是2^（log base phi of n）“该值在递归实现中不出现”