C# 两条三维线段交点的求法

查找两条二维线段的交点很容易。但是，恐怕找不到两条三维线段的交点

在C#中，最好是找到两条3D线段交点的算法是什么

我找到了一个新的。但我不相信这个解决方案，因为它会优先选择某个平面（看看在“实现”部分下实现

perp

的方式，它会优先选择

z平面

。任何通用算法都不能假设任何平面方向或偏好）

有更好的解决办法吗

但是，恐怕找不到两条三维线段的交点

我想是的。可以使用与二维（或任何其他标注）中完全相同的方式找到交点。唯一的区别是，由此产生的线性方程组更可能没有解（这意味着直线不相交）

您可以手工求解一般方程，只需使用您的解决方案，或使用编程方式求解，例如…

我找到了一个解决方案：

这个想法是利用向量代数，使用

点

和

交叉

来简化问题，直到这个阶段：

a (V1 X V2) = (P2 - P1) X V2

并计算

a

---

请注意，此实现不需要任何平面或轴作为参考

大多数三维线不相交。一种可靠的方法是在两条三维直线之间找到最短的直线。如果最短直线的长度为零（或距离小于指定的公差），则知道两条原始直线相交

查找方法总结/解释如下：

在下面的内容中，一条线将由其上的两个点定义，a 由点P1和P2定义的线“a”上的点有一个方程式

Pa = P1 + mua (P2 - P1)

类似地，第二条直线“b”上的点由点P4和P4定义 将写为

Pb = P3 + mub (P4 - P3)

mua和mub的值范围从负到正无穷大。 P1 P2和P3 P4之间的线段具有其相应的mu 介于0和1之间

有两种方法可以找到两条直线之间的最短线段 “a”和“b”行

方法一：

第一个是写下行的长度 将两条线连接起来，然后找出最小值。就是， 尽量减少以下情况

|| Pb - Pa ||^2

代入这些线的方程式得到

|| P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ||^2

然后可以在（x，y，z）组件中展开上述内容

至少要满足以下条件，即 关于mua和mub的值必须为零。。。上述功能仅具有以下功能： 一个最小值，没有其他最小值或最大值。这两个方程可以 对于mua和mub，通过 将μ的值代入直线的原始方程

方法二：

另一种方法是，给出完全相同的方程 认识到两条线路之间的最短线段 垂直于这两条线。这让我们可以写两篇文章 点积方程

(Pa - Pb) dot (P2 - P1) = 0
(Pa - Pb) dot (P4 - P3) = 0

根据直线方程展开这些方程

( P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ) dot (P2 - P1) = 0
( P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ) dot (P4 - P3) = 0

用坐标（x，y，z）展开这些。。。 结果如下

d1321 + mua d2121 - mub d4321 = 0
d1343 + mua d4321 - mub d4343 = 0

在哪里

dmnop = (xm - xn)(xo - xp) + (ym - yn)(yo - yp) + (zm - zn)(zo - zp)

注意，dmnop=dopmn

最后，对mua进行求解，得到

mua = ( d1343 d4321 - d1321 d4343 ) / ( d2121 d4343 - d4321 d4321 )

而后面的替换会产生mub

mub = ( d1343 + mua d4321 ) / d4343

该方法是一种优秀的几何资源。站点已经被重新组织，所以向下滚动找到主题。

<代码> //此代码在C++中为我工作在2D和3D中。

// This code in C++ works for me in 2d and 3d

// assume Coord has members x(), y() and z() and supports arithmetic operations
// that is Coord u + Coord v = u.x() + v.x(), u.y() + v.y(), u.z() + v.z()

inline Point
dot(const Coord& u, const Coord& v) 
{
return u.x() * v.x() + u.y() * v.y() + u.z() * v.z();   
}

inline Point
norm2( const Coord& v )
{
return v.x() * v.x() + v.y() * v.y() + v.z() * v.z();
}

inline Point
norm( const Coord& v ) 
{
return sqrt(norm2(v));
}

inline
Coord
cross( const Coord& b, const Coord& c) // cross product
{
return Coord(b.y() * c.z() - c.y() * b.z(), b.z() * c.x() - c.z() * b.x(), b.x() *  c.y() - c.x() * b.y());
}

bool 
intersection(const Line& a, const Line& b, Coord& ip)
// http://mathworld.wolfram.com/Line-LineIntersection.html
// in 3d; will also work in 2d if z components are 0
{
Coord da = a.second - a.first; 
Coord db = b.second - b.first;
    Coord dc = b.first - a.first;

if (dot(dc, cross(da,db)) != 0.0) // lines are not coplanar
    return false;

Point s = dot(cross(dc,db),cross(da,db)) / norm2(cross(da,db));
if (s >= 0.0 && s <= 1.0)
{
    ip = a.first + da * Coord(s,s,s);
    return true;
}

return false;
}

//假设Coord有成员x（）、y（）和z（），并支持算术运算 //这就是坐标u+coordv=u.x（）+v.x（），u.y（）+v.y（），u.z（）+v.z（） 内联点 dot（恒坐标和u、恒坐标和v） { 返回u.x（）*v.x（）+u.y（）*v.y（）+u.z（）*v.z（）； } 内联点 norm2（const Coord&v） { 返回v.x（）*v.x（）+v.y（）*v.y（）+v.z（）*v.z（）； } 内联点 标准（施工协调与验证） { 返回sqrt（norm2（v））； } 内联 坐标 交叉（常数坐标和b，常数坐标和c）//交叉积 { 返回坐标（b.y（）*c.z（）-c.y（）*b.z（），b.z（）*c.x（）-c.z（）*b.x（），b.x（）*c.y（）-c.x（）*b.y（））； } 布尔 交叉口（常数线和a、常数线和b、坐标和ip） // http://mathworld.wolfram.com/Line-LineIntersection.html //在3d中；如果z组件为0，也将在二维中工作 { 坐标da=一秒-一秒； 坐标db=b.秒-b.第一； 坐标dc=b.first-a.first； if（dot（dc，cross（da，db））！=0.0）//直线不共面 返回false； 点s=点（交叉点（直流，分贝），交叉点（直流，分贝））/norm2（交叉点（直流，分贝））； 如果（s>=0.0&&s我尝试过，但实际上每次都不起作用，这我可以解释。基于，让我们以这两条线段为例AB和CD

var s = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, db), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

var t = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, da), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

A=（2,1,5），B=（1,2,5）和C=（2,1,3）和D=（2,1,2）

当您尝试获取交点时，它可能会告诉您这是点A（不正确）或没有交点（正确）。这取决于您放置这些线段的顺序

x=A+（B-A）s
x=C+（D-C）t

Bill为s求解，但从未求解t。既然您希望交点位于两条线段上，s和t都必须来自区间。在我的示例中，实际情况是只有s如果来自该区间和tis-2。A位于C和D定义的直线上，但不在线段CD上

var s = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, db), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

var t = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, da), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

其中da是B-A，db是D-C，dc是C-A，我只是保留了Bill提供的名称

然后就像我说的，你必须检查s和t是否都来自，你可以计算t

if ((s >= 0 && s <= 1) && (k >= 0 && k <= 1))
{
   Vector3 res = new Vector3(this.A.x + da.x * s, this.A.y + da.y * s, this.A.z + da.z * s);
}