C# 线段与椭圆之间的距离

我试图找到一种有效的方法来计算给定线段和椭圆之间的距离：

通过研究，我找到了这个链接，并尝试使用熟悉的C#函数复制这个方法。 我必须为某些计算添加一些扩展，比如找到椭圆和线段/直线（带旋转的椭圆）之间的交点。

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几个小时后，我成功地复制了这个方法，但显然它似乎效率不高。也许是的，我不知道

我将用颜色来说明它，而不是使用传统的命名法，因为我没有时间把字母放在图表上

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通过相似变换（将中心平移到原点，并将特征向量旋转到坐标轴），使用辅助段（蓝色）和圆（红色）之间第一个交点的距离计算垂直于初始段的品红段，你可以把椭圆变成它的标准形式

x²/a² + y²/b² = 1.

同时，管段的支承线变为方程

px + qy + r = 0.

现在，通过使用椭圆的参数方程，我们最小化

(p a cosΘ + q b sinΘ + r)²

(a cosΘ - x)² + (b sinΘ - y)²,

通过取消导数

-p a sinΘ + q b cosΘ = 0

或

从

Θ

的值中，您可以在椭圆上获得一个点，并检查它是否投影到线段上。如果不是，则最短距离是到其中一个管段端点的距离。我们最小化

(p a cosΘ + q b sinΘ + r)²

(a cosΘ - x)² + (b sinΘ - y)²,

借

在这里，通过Weierstrass替换使表达式合理化是有利的，我们得到

- a 2t/(1+t²) (a (1-t²)/(1+t²) - x) + b (1-t²)/(1+t²) (b 2t/(1+t²) - y) = 0

或

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这是一个无法逃避的四次多项式，因为有多达四个解（其中保持最短距离）。

我认为最简单的方法是计算直线和连接椭圆中心的直线之间的距离（参见：）。然后减去椭圆的公式，求出包含线段s的线L和椭圆之间的距离。这是微积分。如果在s上实现最小距离，则完成。如果min distance是在s上实现的，那么min就是s的一个或另一个端点。“显然它似乎不太有效”：你是什么意思？@YvesDaoust，我的意思是该方法源自上面YouTube链接中的图形方法，尽管它不是图形方法，因为我使用了双精度计算，而且他们没有太多的计算，这是一个间接的方法，找到一个交点，找到一个切线。有时切线并不真正接触椭圆，我有近似的距离，但我认为用这种方法我无法找到切线和椭圆之间的交点。@Cheva:那么，有两个问题：他们的方法在数值上准确吗？他们的方法快吗？

- a 2t (a (1-t²) - x (1+t²)) + b (1-t²) (b 2t - y (1+t²)) = 0.