Floating point 几何平均数的安全计算

我正在寻找一个理由来选择以下方法之一来计算长系列浮点

x

的几何平均值：

取每个

x

的n个根，然后将它们全部相乘

把它们都乘起来，然后取n根

我听说对于浮点数，乘法和除法比加法和减法损失的信息更少。因此，我不考虑求和指数技巧

我应该通过1或2计算几何平均数，为什么

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更新1，回应评论：

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所有x均小于1且为双精度。它们的数量级在10^-1到10^-6之间。请假设计算n次方根的最常用方法，因为我使用的是编程语言的内置函数。我担心的不是溢出，而是下溢（？），因为所有值都小于1。您可以假设x序列的长度为10^8左右。一般来说，在浮点运算序列中，也包括收缩运算（如平方根或立方根），从精度角度来看，最后执行收缩运算是有利的。例如，

sqrt（1.0/x）

比

1.0/sqrt（x）

更准确，

sqrt（a*b）

比

sqrt（a）*sqrt（b）

更准确，

cbrt（a*b*c）

比

cbrt（a）*cbrt（b）*cbrt（c）

更准确

因此，除非所选浮点格式存在溢出或下溢的危险，例如IEEE-754

binary64

（例如C/C++中的

double

），否则在中间计算中，应选择方法[2]。与精度相关的其他方面：如果n次方根是通过求幂计算的，例如C/C++中的

pow（）

，则每个计算的根都会引入额外的错误，正如我在对的回答中对立方根的情况所解释的。最后，第n个根的计算速度将比乘法慢，因此，从性能角度来看，仅使用最后一个根计算进行乘法也是一种优越的方法

通过使用补偿产品（类似于由提供的补偿添加），方法[2]可以获得非常精确的结果。详情见以下文件：

Stef Graillat，“精确浮点积和求幂”，《计算机上的IEEE交易》，第58卷，第7期，2009年7月，第994-1000页（）

在硬件中提供FMA（融合乘法-加法）操作的系统上，可以特别有效地计算此补偿乘积。这是所有常见的现代处理器体系结构的情况，包括CPU和GPU。C/C++通过标准的数学函数

fma（）

，

fmaf（）

，方便地访问该函数

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更新：Asker在评论中澄清，下溢风险迫在眉睫，因为[10-6,10-1]中有108个因素。@Yves Daoust在评论中提到的一种可能的解决方法是将因子分为尾数和指数，并分别累加。这是否可行取决于浮点环境。当C和C++提供标准函数<代码> FRXPH（）/Cys>执行此分裂时，这个函数可能不是很快。< /P>浮点序列的序列（数量级）有多长？您计划如何计算第n个根？对于方法（2），您选择的浮点格式是否有溢出的危险？性能是否需要考虑？假设不存在溢出双精度浮点格式的危险，并且精度是最重要的设计标准，我建议使用方法（2），使用补偿乘积，然后在末尾取n次方。关于补偿积（如果FMA可用，可以非常有效地计算），请参阅：Stef Graillat，“精确浮点积和求幂”，IEEE计算机交易，第58卷，第7期，2009年7月，第994-1000页。（）只是一个注释：在exp-sum-log方法中，并不是真正的加法和减法是导致精度损失的主要原因（而且在任何情况下，都有正确四舍五入求和的好算法）；这是日志调用。毫不奇怪，将整个正浮点范围映射到区间（0.0710.0）的函数会导致大量信息丢失@njuffa：有没有可能得到封装您的评论的答案？类似地，对于大型

n

，第n个根操作将丢失重要信息；我同意@njuffa的观点，即（2）将更加精确。方法2中溢出的风险可以通过单独累加浮点指数来避免。