Floating point Fortran中正反函数的精度

以代码为例

PROGRAM TRIG_TEST
IMPLICIT NONE

DOUBLE PRECISION, PARAMETER :: PI=4.D0*DATAN(1.0D)

print *, sin(PI/2.0), cos(PI/2.0)

END PROGRAM TRIG_TEST

使用

gfortran

输出编译

1.0000000000000000 6.1232339957367660E-017

---

我知道常见的浮点问题，但是为什么

sin

函数等于1，而

cos

函数不等于零？让我们看看为什么

sin

的结果等于1。在代码中

DOUBLE PRECISION, PARAMETER :: PI=4.D0*DATAN(1.0D0)

这是pi值的浮点近似值。它可能非常接近真实值，但不是。此外，

sin

函数在计算sin时也有错误。我们希望这些都是小错误

我们期望cos（pi/2）的值为零。您的浮点计算与数学答案的误差约为

6.1232339957367660E-017

。让我们假设您的sin计算具有相似的误差大小

现在看看epsilon（0d）的值。这是

1d0+ε（0d0）

不等于

1d0

的最小数。在模型中，假设的误差比这个数字小得多（您报告的是“~2.2e-16”）

因此，

1

是与浮点计算的实际值最接近的可表示数字

以该计划为例

  use, intrinsic :: iso_fortran_env, only : real128, real64
  implicit none

  real(real64), parameter :: PI=4.D0*ATAN(1._real64)
  real(real128), parameter :: PI_approx = PI   ! Not 4*ATAN(1._real128)

  print *, SIN(PI/2), COS(PI/2)
  print *, SIN(PI_approx/2), COS(PI_approx/2)

end

这将（可能）计算

PI/2的sin，但精度更高（使用与PI相同的近似值）。在第二种情况下，我的编译器报告的值不同于
1
，但差异远小于
epsilon（0.\u real64）


作为一个样式点，通常最好避免使用
datan
，并使用generic
atan
<代码>双精度

也可以由适当的种类参数代替。这些都显示在我上面的程序中。

让我们看看为什么

sin

的结果会给出1。在代码中

DOUBLE PRECISION, PARAMETER :: PI=4.D0*DATAN(1.0D0)

这是pi值的浮点近似值。它可能非常接近真实值，但不是。此外，

sin

函数在计算sin时也有错误。我们希望这些都是小错误

我们期望cos（pi/2）的值为零。您的浮点计算与数学答案的误差约为

6.1232339957367660E-017

。让我们假设您的sin计算具有相似的误差大小

现在看看epsilon（0d）的值。这是

1d0+ε（0d0）

不等于

1d0

的最小数。在模型中，假设的误差比这个数字小得多（您报告的是“~2.2e-16”）

因此，

1

是与浮点计算的实际值最接近的可表示数字

以该计划为例

  use, intrinsic :: iso_fortran_env, only : real128, real64
  implicit none

  real(real64), parameter :: PI=4.D0*ATAN(1._real64)
  real(real128), parameter :: PI_approx = PI   ! Not 4*ATAN(1._real128)

  print *, SIN(PI/2), COS(PI/2)
  print *, SIN(PI_approx/2), COS(PI_approx/2)

end

这将（可能）计算

PI/2的sin，但精度更高（使用与PI相同的近似值）。在第二种情况下，我的编译器报告的值不同于
1
，但差异远小于
epsilon（0.\u real64）


作为一个样式点，通常最好避免使用
datan
，并使用generic
atan
<代码>双精度

也可以由适当的种类参数代替。这些都显示在我上面的程序中。

以下假设

double

是IEEE 754基本64位二进制格式。三角函数例程的常见实现不如格式要求的精确。但是，对于这个答案，让我们假设它们返回最准确的结果

π不能在

double

中精确表示。最接近的可能值为884279719003555/281474976710656或3.14159265358979311599796346854418516159057671875。我们叫它p

p/2的正弦约为1− 1.8747•10−33两侧的

double

中表示的两个值分别为1和0.999999999988897769797537484345957683319091796875，约为1− 1.11•10−16两者之间的距离越近为1，因此

p/2

的最接近正弦的可表示值正好为1

p/2的余弦约为6.123233995736765886•10−17

double

中可表示的最接近该值的值为6.123233995736766035868820147291983023128246062338790031898112806340349218957424163818359375•10−十七,

---

因此，您观察到的结果是最接近真实数学值的可能结果。

以下假设

double

是IEEE 754基本64位二进制格式。三角函数例程的常见实现不如格式要求的精确。但是，对于这个答案，让我们假设它们返回最准确的结果

π不能在

double

中精确表示。最接近的可能值为884279719003555/281474976710656或3.14159265358979311599796346854418516159057671875。我们叫它p

p/2的正弦约为1− 1.8747•10−33两侧的

double

中表示的两个值分别为1和0.999999999988897769797537484345957683319091796875，约为1− 1.11•10−16两者之间的距离越近为1，因此

p/2

的最接近正弦的可表示值正好为1

p/2的余弦约为6.123233995736765886•10−17

double

中可表示的最接近该值的值为6.123233995736766035868820147291983023128246062338790031898112806340349218957424163818359375•10−十七,

---

因此，您观察到的结果是最接近真实数学值的可能结果。

编译器的

epsilon（1d0）

值是多少？该值为~2.2e-16？听起来似乎合理。假设

sin

和

cos

都精确到

7E-017

范围内。这就给出了

cos

的答案

1-7E-017

等于

1.

[你说你理解“通常的浮动”