Floating point 指数函数后的计算精度

我有一个关于计算精度的问题——这更多的是编程背后的数学理论

我有一个给定的浮点数

X

和该数的四舍五入，精确到

10^（-n）

小数位：

X'

。现在，我想知道，如果在计算指数函数：

y=2^（x）

之后，我的数字和取整后的数字之间的差值将保持在相同的精度水平。我的意思是：

---

|2^（X）-2^（X'）|

处于

10^（-n-1）

幂运算放大了相对误差，进而放大了ulp误差。考虑这个说明性的例子：

这将打印如下内容

x=0x1.fffffep+6 1.27999992e+02  exp2(x)=0x1.ffff4ep+127 3.40280562e+38
x=0x1.fffffcp+6 1.27999985e+02  exp2(x)=0x1.fffe9ep+127 3.40278777e+38

结果中的最大ulp误差将与所使用的浮点格式的2个指标位在相同的数量级上。在该特定示例中，IEEE-754

浮点值中有8个指数位，输入中的1 ulp差异转化为结果中的176 ulp差异。参数的相对差异约为5.5e-8，而结果的相对差异约为5.3e-6

关于这种放大的一种简化、直观的思考方式是，在浮点参数的有效位/尾数中的有限位数中，一些位只对结果的大小（因此是指数位）起作用（在本例中，这些位表示127的整数部分），而剩余的位则贡献给结果的有效位/尾数位

如果从数学角度来看，如果原始参数x=n*（1+ε），那么ex=en*（1+ε）=en*en*ε≈ en*（1+n*ε）。那么如果n≈ 128, ε ≈ 1e-7，则预期最大相对误差约为1.28e-5。
这里的礼仪是不在问题上签字（您的名字在右下角）。问候和感谢也应该避免。我不太明白这一点。。。必须计算2^x，而x是一个大数字，在“.”之后有许多数字。我应该将结果四舍五入到尽可能远的数字吗？根据你所写的，这会不会增加结果错误的重要性？我不明白你的问题。我应该做些什么来最小化错误：使用更多或更少的指数位？更高的精度是一个直观的答案，但您已经写道，我使用的指数位越多，我得到的结果中的最大ulp误差就越大。在您添加了带有“n*（1+ε）”的部分后，很明显，数字越精确越好。那么，我在你的回答中对结果中的最大ulp误差有什么误解呢？幂运算中相对误差的放大率是参数大小的函数。指数位数对于任何选定的IEEE-754浮点格式都是固定的，它提供了参数大小的上限，从而提供了放大率。我举了一个最坏的例子来说明这个问题。你没有提供背景，所以我不能推荐一个策略。例如，您可以尝试将输入表示为双浮点数或双浮点数，然后计算exp（head）+tail*exp（head），这在尝试实现
pow（x，y）
时效果很好。
x=0x1.fffffep+6 1.27999992e+02  exp2(x)=0x1.ffff4ep+127 3.40280562e+38
x=0x1.fffffcp+6 1.27999985e+02  exp2(x)=0x1.fffe9ep+127 3.40278777e+38