Floating point 二进制浮点数的十进制精度

我在很多面试考试中都发现了这个问题，但我自己却不知道该如何解决。问题是：

由两个16位字表示的浮点数可以表示多少位精度

答案显然是大约6位数

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这是从哪里来的，你怎么计算出来的？

一个IEEE-754浮点数有一个符号位，一些位数（e）表示指数，一些位数（m）表示尾数，这个数字乘以2表示指数。结果数字的形式如下所示

±m×2e
例如，0b1.01×2-0b0100=1.25×2-4=.078125

它直接类似于（十进制）科学记数法中的实数

±m×10e
如7.8125×10-2

正如十进制中的有效位数与指数部分无关，二进制浮点中的精度也完全由尾数中的位数设置。尾数越长，数字所代表的精度越高。对于32位浮点数，将尾数中的位数设置为23位（+1加号+8表示指数）；对于64位浮点数，它是52位（+1，+11）

科学记数法还有另一个惯例；尾数必须介于1（100）和10（101）之间。通过使科学记数法中的表示形式独特，这大大简化了比较——在科学记数法中只有一种方法可以写出数字。也就是说，200表示为2×102，而不是20×101或0.2×103。因此，可以非常快速地比较数字-任何形式+xyz×102的数字必然小于形式+abc×103的数字

类似地，在二进制中，尾数必须介于1和2（20…21）之间。因此尾数的第一位必须是1；因为它知道它的值必须是什么，所以不需要显式存储，所以实际上有24位和53位尾数。（对于非常小的数字——该位隐式为0，而不是1，但结果相同）

因此，32位浮点数中的24位尾数的范围为

0b1.00000000000000000000001 ~ 1.00000012
     to
0b1.11111111111111111111111 ~ 1.99999988

也就是说，大于1或小于1的最小增量位于小数点后第7位。另一种观察方法是考虑一个靠近中间的数字，看看间隔是什么：

0b1.01111111111111111111110 ~ 1.49999976
0b1.01111111111111111111111 ~ 1.49999988
0b1.10000000000000000000000 ~ 1.5
0b1.10000000000000000000001 ~ 1.50000012

因此，在小数点后第七位，间距约为1.2，因此精度小于7，但大于6位。间距在数字范围内有所不同；此外，人们很少只做一个浮点运算，这些误差由于舍入而传播，所以人们通常谈论6位精度。还应注意的是，虽然精度仅取决于尾数的大小，但如何“转换”为十进制数字中的错误在某种程度上也取决于指数；通过取其中一些值并乘以二的幂，可以看出这一点。但六位数的精度是一个很好的经验法则

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在概述浮点数方面做得很好，综合参考文献是Goldberg的。

非常简单：32位IEEE-754浮点数的尾数为23+1位（在IEEE中称为有效位）。尾数的大小或多或少决定了可表示数字的数量

要获得有效位数，只需计算log10（224），约为7.22。（或者，如果您认为只有23位可以计算，因为顶部的位是固定的，那么您会得到log10（223），大约为6.92）。实际上，对于标准化值，有大约6-7个有效数字

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对于64位浮点值（双精度）也可以这样做。它们有52（或53）位来存储尾数，因此计算log10（252），这大约是15.6（或15.9，53位），这将为您提供大约15个有效位。

建议：使用一个符号位、两个指数位和29个有效位。这可以得到大约九位数的精度。（它也使1+1等于无穷大，但你没有要求一些不愚蠢的东西！）可能重复@Mark:不，不是重复。该问题询问如何计算有效位数，这是一个有效的问题，IMO。这并不意味着提问者不知道浮点值不准确的原因。相反，虽然一般问题没有明确规定IEEE格式，但一般来说，单精度（32位）浮点的精度为6位小数。例如，IBM360float有24位分数，给你略多于7位的数字。当然，正如@ TMykLuBu演示的那样，你可以设计一个“不平衡”的FP格式，它给你带来了很多或更少，但是普通的设计会找到一个“平衡”，大约1/4个指数和3/4个分数。+ 1矛盾的是，如果你看C++ STD：：数字限制，你会发现虽然双倍的精度小于16位数。最多需要17位十进制数字来区分打印的十进制表示法-最大10位整数位数（以十进制为基数），以确保始终区分不同的值。