Floating point 包含相对误差和ulp的不等式

以下引文摘自第8页，共页。有人能解释一下不等式中涉及1/2 ulp的最后一个等式是如何产生的吗

要计算对应于1/2 ulp的相对误差，请观察当实数近似于最接近的可能浮点数时

绝对误差可以大到

其中β′是数字β/2。这个错误是错误的

由于表格中的数字都具有相同的绝对误差，但其值范围在β^e和βxβ^e之间，因此相对误差范围在

和。就是

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这一行试图说明半个ULP对应的相对误差在所示的两个界限之间，这两个界限是在前面几行中计算的。然而，与其说半个ULP对应的相对误差在这些界限之间，不如说半个ULP在这些界限之间。这是一个错误，除非我们不清楚“ULP”的含义。我会写“1/2 ULP/x”，而不是该行中的“1/2 ULP”，其中x是正在考虑的数字

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（事实上，当我写ULP时，我经常写ULP（x）来表示ULP是一个特定值的ULP，因为最后一位的单位值随数字的不同而变化。）

这在前面的几行中有解释。当然，当x是两个ULP（x）的幂时仍然模棱两可。@RickRegan:ULP被明确定义为最后一个单元。它不定义为到另一个可表示值的距离。它的定义没有歧义。那么什么是ULP（2^53）？是1号还是2号？@RickRegan:是2号。由于IEEE-754 64位二进制浮点有53位有效位（52位直接编码，一位复杂），最后一位是第一位“下方”的52位。对于253，最高位的值为253。因此，最后一位的值为2**（53-52）=2**1=2。有一次，如果x不是一个可表示的值，那么ULP（x）可能存在一些不确定性。例如，我们正在做一个证明，某一步的数学结果是x，x非常接近2的某个幂，但小于它。当我们讨论这个值的ULP时，我们是指它在数学上的“二进制”的ULP（低于所讨论的二次幂的一个）还是四舍五入到浮点格式时它将被四舍五入到的值的ULP？然而，这是一个由证据作者解决和澄清的问题。对于可表示的值，这是毫无疑问的。