Floating point 双精度整数sqrt的精度

我想计算

uint64\u t

的整数部分。对于32位

uint32\u t

，通常建议首先将其强制转换为

double

，

sqrt

，然后将其强制转换回

uint32\u t

鉴于

double

最多只能容纳2^53个数字，它是否也适用于

uint64\u t

？也就是说，下面的答案是否总是正确的：

#include <math.h>
uint64_t x = ...;
uint64_t result = (uint64_t)sqrt((double)x);

#包括
uint64_t x=。。。；
uint64_t结果=（uint64_t）sqrt（（双）x）；

甚至：

#include <math.h>
uint64_t x = ...;
uint32_t result = (uint32_t)sqrt((double)x);

#包括
uint64_t x=。。。；
uint32_t结果=（uint32_t）sqrt（（双）x）；
根据经验，答案是否定的。输入4503599761588224的结果被错误地计算为67108865，而不是67108864

下面的代码识别这种情况。1当然，您可以删除
中断以观察其他情况

#包括
#包括
#包括
内部主（空）{
对于（uint32_t y=1；y！=0；y++）{
//*比完美的正方形还小*
uint64_t x=（（uint64_t）y*（uint64_t）y）-1；
//我们期待最后的结果
uint32_t预期=y-1；
uint32_t结果=（uint32_t）sqrt（（双）x）；
如果（结果！=预期）{
printf（“不正确：x=%llu，结果=%u\n”，x，结果）；
打破
}
}
返回0；
}

值4503599761588224有什么特别之处？嗯，它正好是（226+1）2-1，也就是（252+227）。这可以用一个
double
来精确表示，因此错误不是由于
long
->
double
转换引起的

相反，该错误是
sqrt
实现的内部错误。这里的delta（与完美正方形相比）将平方根减小了2-27倍，这比
结果本身小了253倍。这是双精度所能处理的极限，因此我们自然希望在这一点上看到一个错误。2


一,

二,。@EricPostpischil在下面的评论中识别出了根本原因，这要归功于@EricPostpischil:）
当然，如果我们得到的数学库是好的，并且返回了一个正确的四舍五入平方根，那么我们知道结果很接近，并且可以用整数算法轻松地测试和纠正它。失败发生在2**26处的原因是sqrt（x）的导数是1/（2*sqrt（x））。因此，在（2**26）**2，减去1将平方根减少约2**-27。而平方根刚好低于2**26，因此减少约为平方根的2**-53倍，因此达到了双精度的边缘。即使数学库非常近似正确，也可以将平方根括起来并进行二进制搜索。@EricPostSchil-Nic我已经把这一点纳入了我的答案中（感谢你！）。即使对于
uint32\u t
，只有当您知道您的数学库的
sqrt
很好，并且您的C实现很好地处理浮点运算时，这才是可靠的。仅C标准并不要求这一点。有些数学库仅返回近似结果，即使是具有可表示的精确平方根的值。我编写了recoM正在对32位整数执行双精度策略，但这是对Java问题的回答。答案取决于Java特定的保证，不适用于C。