Floating point 向下和向上舍入的浮点算术错误
用RD（f）和RU（f）表示通过在浮点算术中分别向下舍入和向上舍入计算函数f得到的计算近似值 假设我们从舍入误差分析中知道 |RD（f）-f |Floating point 向下和向上舍入的浮点算术错误,floating-point,floating-accuracy,ieee-754,Floating Point,Floating Accuracy,Ieee 754,用RD（f）和RU（f）表示通过在浮点算术中分别向下舍入和向上舍入计算函数f得到的计算近似值 假设我们从舍入误差分析中知道 |RD（f）-f |
p=4uu=1/2*10^{1-4}=0.0005u=10^{1-4}=0.001f=（1.324/1.567+1.641/1.878）f1.71872852921926…| RD（f）-f |设u为1和下一个大于1的可表示数之间的差值。（这是最小精度[ULP]为1的单位，即浮点格式的1的有效位中最低有效位的值。）
考虑函数f（x）=（4− （x+½u）− 3） /（½u）。f（1）的精确数学值为1，但向下舍入的计算值为0，向上舍入的计算值为0：
- 向下舍入时，1+½u产生1，然后是4−1产生3，3产生3−3产生0
- 四舍五入时，1+½u产生1+u，然后是4−（1+u）正好是3−但必须四舍五入到3，因为3−u不具有代表性（介于3和3之间−2u和3，因为[2,4]中的ULP是[1,2]和[3]中ULP的两倍−3产生0
因此，对于域x上的此函数∈{1} ，我们有一个误差界E=1，这样| RD（f）− f|≤ E和| RU（f）− f|≤ E、 但是| RD（f）− RU（f）|≤ 0
对比之下，考虑函数x+u− 1） /（½u）。同样，f（1）的精确数学值为1，但现在四舍五入的计算值为−1，向上舍入的计算值为+1
在这种情况下，我们有相同的误差界E=1，这样| RD（f）− f|≤ E和| RU（f）− f|≤ E、 但是现在| RD（f）上的最佳限制− RU（f）| is | RD（f）− RU（f）|≤ 2E
因此，一般来说，给定| RD（f）− f|≤ E和| RU（f）− f|≤ E、 |RD（f）上的最佳界− RU（f）|可以在0到2E之间波动
这大体上回答了这个问题。在一篇评论中，你问f=a1/b1+a2/b2+…+an/bn表示正ai和bi。考虑到约束条件，如果所有的b值都是可表示的，我认为每一个向下舍入的错误都必须有一个负（朝向）−∞) 对计算结果的影响，并且每个舍入误差必须具有正向影响（朝向）+∞). （如果任何b值不可表示，其四舍五入将对最终结果产生相反的影响，以下分析不适用。）如果E是最佳（最小）界，则| RD（f）− f |
（如果您将<更改为≤, 那么，如果E是最佳界，那么| RD（f）− f|≤ E和| RU（f）− f|≤ E、 然后| RD（f）− RU（f）|≤ 当且仅当E为0时，E才有可能。显然，当E为0时，这是正确的，这意味着算术是精确的。如果E不为零，那么其中一个计算肯定有一些非零误差，因此另一个也有。由于误差随着计算的进行必然是单调的，因此最终误差必须保持非零且相反（电子签名）
[事实证明，我不需要f（x）中的参数x；我可以简单地使用问题中提出的常数函数f。然而，在我意识到我不需要它之前，我就这样写了演示。]例如，让f=a1/b1+a2/b2+…+an/bn
，其中ai>0
和bi>0
对于所有i=1,2，…，n
。那么界将是E？这如何证明？也许你可以推荐那些对浮点区间进行错误分析的书籍？@KonstantinIsupov:你说的E是什么意思？你在使用它吗作为一个由浮点类型固定的值，比如“机器”ε？还是根据操作序列计算的某个值？E是根据操作序列计算的某个值。即，我需要计算f=a1/b1+a2/b2+…+an/bn
（所有ai>0
和bi>0
）使用向下舍入和向上舍入。在这种情况下，E=n*u*f
，其中u
是单位舍入。对于定向舍入u=2^{1-p}
，其中p
是精度。感谢您的详细回答。关于f=a1/b1+a2/b2+…+an/bn
对于正ai
和bi
：我认为如果每次向下舍入都会产生一个很大的负误差（接近边界），则相应的向上舍入误差（正）会很小，反之亦然。所以，如果− f | E| RU（f）− f |0|RU（f）− f |E| RD（f）− f |0|RD（f）− RU（f）|a/b