Function Coq中作为函数参数的依赖类型

我对Coq很陌生。我正在尝试使用Coq的依赖类型。我想做的是，简单地给一个函数输入一个偶数。例如，在伪代码中：

def next_even(n: {n: Integer | n is even}) :=
{
  add n 2
}

next_even(1)    // Coq should show an error
next_even(4)    // Coq should compute 6

然后我想使用具有不同参数的函数，例如（在伪代码中）：

因此，在Coq中，我想做以下工作：

Compute (next_even 1).
Compute (next_even 4).

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如何构造它？

以下是您在Coq中函数的直接翻译：

From Coq Require Import Arith.

Definition add_two_even (n : {n : nat | Nat.even n = true}) : nat :=
  proj1_sig n + 1.

请注意，您需要使用

proj1_sig

函数从子集类型

{n:nat | nat.偶n=true}

中提取

n

。要使用

add_two_even

，您还需要反过来：从一个数字到

{n | Nat.even=true}

的一个元素。在Coq中，这需要手动证明。对于

n

的具体值，这很容易：

(* The next command fails with a type checking error *)
Fail Compute add_two_even (exist _ 1 eq_refl).
(* The next command succeeds *)
Compute add_two_even (exist _ 4 eq_refl).

exist

构造函数用

px

的证明包装一个值

x

，生成子集类型

{x | px}

的元素。

eq\u refl

术语是

x=x

的任何值的证明。当

n

是一个具体的数字时，Coq可以评估

Nat.偶n

，并找出

eq\u refl

是否是

Nat.偶n=true

的有效证明。当

n

为

1

时，

Nat.偶n=false

，检查失败，导致第一条错误消息。当

n

为

4

时，检查成功

当

n

不是常数，而是任意表达式时，事情会变得更加复杂。证明

Nat.even n=true

可能需要用户指导的详细推理。例如，对于

n

的任何值，我们知道

Nat.偶（n+n）=true

，但Coq不知道。因此，要在形式为

n+n

的东西上调用

add\u two\u偶

，我们需要显示一个引理

Lemma add_n_n_even n : Nat.even (n + n) = true.
Proof.
induction n as [|n IH]; trivial.
now simpl; rewrite <- plus_n_Sm, IH.
Qed.

Definition foo (n : nat) :=
  add_two_even (exist _ (n + n) (add_n_n_even n)).

这个引理对于任意列表的陈述变得更加复杂，因为我们需要一个额外的假设，即两个列表的大小相同。（此处，

x0

是默认值。）

eq\u from\n:
对于所有（T:类型）（x0:T）（s1 s2:列表T），
大小s1=大小s2->
（对于所有i:nat，inth x0 s1 i=nth x0 s2 i）->s1=s2

不使用子集类型是什么意思？那你应该用什么？我认为mathcomp中使用了子集类型，并且有很好的理由，它们比索引归纳类型更易于操作。是的，mathcomp库为子集类型提供了很好的使用模式。我的意思是，对于像

add\u two\u甚至

这样的函数，使用子集类型通常是一个坏主意，在签名上添加的约束可能不会简化此函数的属性。我会尽量在我的回答中更好地解释它。

eq_from_tnth:
  forall (n : nat) (T : Type) (t1 t2 : n.-tuple T),
    (forall i : 'I_n, tnth t1 i = tnth t2 i) -> t1 = t2

eq_from_nth:
  forall (T : Type) (x0 : T) (s1 s2 : list T),
  size s1 = size s2 ->
  (forall i : nat, i < size s1 -> nth x0 s1 i = nth x0 s2 i) -> s1 = s2