Geometry 在N维空间中以与3个点的最小距离计算等距点

我试着在任意维度上编码，我被困在创建一个球体的部分，这个球体的边缘有3个给定的点，或者换句话说，一个球体由N维空间中的3个点定义

该球体的中心将是距离（定义）3点的最小等距点

我知道如何在2-D（由3个点定义的三角形的外心）中求解，我也看过一些3D的矢量计算，但我不知道N-D的最佳方法是什么，甚至不知道这是否可能

（我也很感激关于ND中最小边界球计算的任何其他建议，以防我走错方向。）

如果我做对了：

想要的点

p

是相同半径的3个超球体之间的交点

r

，其中超球体的中心是您的点

p0、p1、p2

，半径

r

是所有可能解的最小值。在n-D中，任意点定义为

（x1，x2，x3，…xn）

因此，求解以下方程：

|p-p0|=r
|p-p1|=r
|p-p2|=r

其中，

p，r

为未知数，

p0，p1，p2

为未知数。这导致

3*n

方程和

n+1

未知数。因此，获取所有非零

r

解，并选择最小值。为了正确计算，从每个球体中选择一些非平凡的方程

（0=r）

，形成

n+1

=方程和

n+1

未知数的系统，并对其进行求解

[notes]

为了简化处理，您可以使用以下形式的方程式：

(p.xi-p0.xi)^2=r^2

只有在找到解后才使用

sqrt（r^2）

（忽略负半径）

还有另一种更简单的方法：

|p-p0|=r
|p-p1|=r
|p-p2|=r

您可以计算点

p0、p1、p2

所在的平面，因此只需在该平面内找到这些点的

u、v

坐标即可。然后在

（u，v）

坐标上的2D中解决您的问题，然后将找到的解决方案形式

（u，v）

转换回您的

n-D

空间

n=(p1-p0)x(p2-p0); // x is cross product
u=(p1-p0); u/=|u|;
v=u x n; v/=|v|; // x is cross product

如果我的记忆对我有用，那么转换

n-D->u，v

是这样完成的：

P0=(0,0);
P1=(|p1-p0|,0);
P2=(dot(p2-p0,u),dot(p2-p0,v));

p=(P.u*u)+(P.v*v);

其中，

P0，P1，P2

是

n-D

空间中与点

P0，P1，P2

相对应的平面坐标系中的2D点

n=(p1-p0)x(p2-p0); // x is cross product
u=(p1-p0); u/=|u|;
v=u x n; v/=|v|; // x is cross product

转换回的操作如下所示：

P0=(0,0);
P1=(|p1-p0|,0);
P2=(dot(p2-p0,u),dot(p2-p0,v));

p=(P.u*u)+(P.v*v);

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我的边界球算法只计算一个近似最优的三维球体

Fischer有一个精确的最小边界超球体（N维）。参见他的论文：

他的（C++/Java）代码：

杰克·里特

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jack@houseofwords.com

这似乎更像是一个数学问题，而不是一个编码/编程问题。这可能更好，因为链接没有提到由三个点给出的球体，而是一个包含球体和一个位于后者外部的点的球体。新球体的中心沿着旧中心和球体上的外部点、点的中点和反点之间的直线。问题的标题与内容不同。我认为你需要找到一个等距点，它也使距离最小化。试着编辑问题，以便更清楚地说出你真正想做的事情。@george你是对的。抱歉。@YvesDaoust你有证据证明那是最小的边界球中心吗？哇。非常感谢。这很有帮助！我会努力实现它！