Geometry 如何用角度阈值快速识别单位矢量？

我正在写一个关于计算几何的程序

在这个程序中，我需要识别单位向量。（单词

标识
可能不准确）

i、 例如，编写一个程序来检查单位向量是否已经存在

检查两个多边形是否在一个平面上时使用此步骤。第一步是检查两个多边形的法线是否非常接近（角度<1.0度）

因此，我们可以假设

所有向量都是单位向量
向量是随机的
例如，将角度阈值设置为1.0度。我们有6个向量

(1,0,0)
(0,1,0)
(1,0,1e-8)  // in program, this will be normalized
(1,0,0)
(sin(45), cos(45),0)
(sin(44.9), cos(44.9),0)

然后，每个向量的索引是

0 1 0 0 2 2

i、 例如，第一个/第三个/第四个矢量是相同的，因为它们的角度在1.0度范围内或只是在同一方向上。第5/6个矢量之间的角度小于1.0度

现在，问题来了，我有几十万个单位向量要在不同阶段识别。这个过程大约花费了总时间的一半

示例代码

std:：vector unitVecs；//所有单位向量
//实际情况下超过100000个单位向量
int getVectorID（const Vector3d和vec）
{
对于（int i=0；i如果你能够接受仅仅“非常接近单位向量”的向量，而不是严格小于或等于单位向量1度的向量，你可以简单地检查给定向量的3个值非常接近0，一个值非常接近1：

int valueCloseTo(float value, float trg, float epsilon=0.0001) {
  return abs(value) - trg <= epsilon;
}
int isRoughlyUnitVector(float x, float y, float z, float epsilon=0.0001) {
  
  // We can quickly return false if units don't add near 1
  // Could also consider multiplying `epsilon` x 3 here to account for accumulated error
  if (!valueCloseTo(x + y + z, 1, epsilon)) return false;
  
  // Now ensure that of x, y, and z, two are ~0 and one is ~1
  int numZero = 0;
  int numOne = 0;
  std::vector<float> vec{ x, y, z };
  for (float v : vec) {
    
    // Count another ~0 value
    if (valueCloseTo(v, 0, epsilon))      numZero++;
    
    // Count another ~1 value
    else if (valueCloseTo(v, 1, epsilon)) numOne++;
    
    // If any value isn't close to 0 or 1, (x,y,z) is not a unit vector
    else                                  return false;
    
    // False if we exceed 2 values near 0, and one value near 1
    if (numZero > 2 || numOne > 1) return false;
  }

  return true;
}

int valueCloseTo（浮点值、浮点训练、浮点ε=0.0001）{
返回abs（值）-trg2 | | numOne>1）返回false；
}
返回true；
}

请注意，此方法没有提供任何定义“最大偏移角度”（如您问题中的1deg）的方法，而是让我们使用
ε
值，该值不是角度，而是简单的线性值。随着
epsilon
的增加，远离单位向量的向量会被接受，但是
epsilon
没有“角度”性质。
如果你能够接受仅仅“非常接近单位向量”的向量，与严格小于或等于单位向量1度的向量相反，您只需检查给定向量的3个值是否非常接近0，一个值是否非常接近1：

int valueCloseTo(float value, float trg, float epsilon=0.0001) {
  return abs(value) - trg <= epsilon;
}
int isRoughlyUnitVector(float x, float y, float z, float epsilon=0.0001) {
  
  // We can quickly return false if units don't add near 1
  // Could also consider multiplying `epsilon` x 3 here to account for accumulated error
  if (!valueCloseTo(x + y + z, 1, epsilon)) return false;
  
  // Now ensure that of x, y, and z, two are ~0 and one is ~1
  int numZero = 0;
  int numOne = 0;
  std::vector<float> vec{ x, y, z };
  for (float v : vec) {
    
    // Count another ~0 value
    if (valueCloseTo(v, 0, epsilon))      numZero++;
    
    // Count another ~1 value
    else if (valueCloseTo(v, 1, epsilon)) numOne++;
    
    // If any value isn't close to 0 or 1, (x,y,z) is not a unit vector
    else                                  return false;
    
    // False if we exceed 2 values near 0, and one value near 1
    if (numZero > 2 || numOne > 1) return false;
  }

  return true;
}

int valueCloseTo（浮点值、浮点训练、浮点ε=0.0001）{
返回abs（值）-trg2 | | numOne>1）返回false；
}
返回true；
}

请注意，此方法没有提供任何定义“最大偏移角度”（如您问题中的1deg）的方法，而是让我们使用
ε
值，该值不是角度，而是简单的线性值。随着
epsilon
的增加，距离单位向量更远的向量会被接受，但是
epsilon
没有“角度”性质。
calcAngle
大概是通过点积、归一化和计算
acos
来工作的？因为余弦是一个递减函数，你可以将标准化点积与1度的余弦进行比较，你只需要计算一次，节省了每次迭代时昂贵的
acos
。我在程序中这样做了，但有几十万个单位向量，这个过程仍然需要花费大量的时间。你能负担得起检查给定向量是否“大致非常接近单位向量”，而不是精确地在单位向量的1度以内吗？因为在这种情况下，您只需检查向量中的一个值是否较大，3是否非常小—计算非常简单！我用“1度以内”更新了我的问题。但很抱歉我不明白你的意思。给定一个单位向量，我如何知道不迭代所有向量的哪一个？也考虑某种类型的二进制空间划分。例如-单位球体被三角形网格分割。每个向量都指向某个单元格，每个单元格都存储属于它的向量列表。
calcAngle
大概是通过取点积、标准化和计算
acos
来工作的？因为余弦是一个递减函数，你可以将标准化点积与1度的余弦进行比较，你只需要计算一次，节省了每次迭代时昂贵的
acos
。我在程序中这样做了，但有几十万个单位向量，这个过程仍然需要花费大量的时间。你能负担得起检查给定向量是否“大致非常接近单位向量”，而不是精确地在单位向量的1度以内吗？因为在这种情况下，您只需检查向量中的一个值是否较大，3是否非常小—计算非常简单！我用“1度以内”更新了我的问题。但很抱歉我不明白你的意思。给定一个单位向量，我如何知道不迭代所有向量的哪一个？也考虑某种类型的二进制空间划分。例如-单位球体被三角形网格分割。每个向量都指向某个单元格，每个单元格都存储属于它的向量列表。谢谢您的回复。但是对于向量（sin（45），cos（45），0）和（sin（44.9），cos（44.9），0），这不起作用。请原谅，我的代码没有经过测试（有一些明显的错误和一些javascript偷偷进入我的cpp）。你能用更新的代码再试一次吗？现在100%有效了。谢谢你，格肖姆。该代码适用于单位X/Y/Z向量。但不适用于所有其他单位向量。我的问题可能会误导您，所以我更新了测试用例。谢谢您的回复。但是对于向量（sin（45），cos（45），0）和（sin（44.9），cos（44.9），0），这不起作用。请原谅，我的代码没有经过测试（有一些明显的错误和一些javascript偷偷进入我的cpp）。你能用更新的代码再试一次吗？现在100%有效了。谢谢你，格肖姆。该代码适用于单位X/Y/Z向量。但不适用于所有其他单位向量。我的问题可能会误导你