Geometry 如何找到两个点的坐标（作为自然数），这两个点形成一条由x轴限制的圆的切线？

坐标为（Px，Py）和（Qx，Qy）的两点p和Q满足以下特性：

坐标Px、Py、Qx和Qy是整数

Px=−Qx

线PQ与圆心为（0，0）且半径为r的圆相切

0 我如何找到所有这样的点对p和Q

例如，在下面的图像中，我有一个半径为r=2、极限为a=6的圆。点P=（6,2）和Q=(−6.−7） 是一种解决方案，因为：

P和Q的坐标是整数

Px=−Qx

线PQ与圆相切

0 但这只是一双。我需要找到所有这样的一对。有有限数量的解决方案

那么，有没有办法检查点的坐标是否与圆相切，是否为整数，然后将它们全部列出？我已经研究了斜率方程和从圆心到直线方程的最短路径，然而，在第一种情况下，它需要知道坐标（我可以通过强制每个数字来实现，但我看不到模式，因为我的直觉告诉我应该应用某种方程），在第二种情况下，我必须知道斜率方程

这是我提出的算法，但我认为它不正确或不够好：

找到所有1的斜率方程y=mx+b≤ 二甲苯≤ a和−A.≤ Qx≤ −一,

对于每个y=mx+b，检查它是否与圆相切（如何做到？）

如果为true，则返回该对

线路PQ具有以下等式：

(x-Px)/(Qx-Px)=(y-Py)/(Qy-Py) or

(x-Px)*(Qy-Py)-(y-Py)*(Qx-Px)=0 or

x*(Qy-Py)+y*(Px-Qx)-Px*Qy+Px*Py+Py*Qx-Py*Px = 

x*(Qy-Py)+y*2*Px-Px*(Qy+Py)=0

从零点到该线的距离（圆半径）为

注意，半径和命名符都是整数，所以分母也必须是整数。当2*Px和| Qy Py |是某些点的成员时（例如-12^2+9^2=15^2），这是可能的。因此，您可以使用“生成三元组”方法从上述链接中大大减少搜索并找到所有可能的点对（使用半径检查）

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Px=k*m*n（对于m>=n，radiusr=Px*(Qy+Py)/Sqrt((2*Px)^2+(Qy-Py)^2)

  Px = k * m * n   (for m>=n, radius < k*m*n <= a)
  |Qy-Py| = k * (m^2 - n^2)