Graph “这是什么意思？”；“路径矩阵”；及；传递闭包；图的方向（有向和无向）？

在讨论各种图算法时，我看到“路径矩阵”和“传递闭包”这两个术语在任何地方都没有很好的定义

在有向图和无向图的情况下，“路径矩阵”和“传递闭包”是什么意思？

图论中的路径矩阵是一个矩阵大小

n*n

，其中

n

是图的顶点数。如果图中有从

i

th顶点到

j

th顶点的路径，则

i

th行和

j

th列上的元素为

1

，如果没有路径，则

0

路径矩阵通常用于计算路径矩阵

这个定义没有区分有向图和无向图，但很明显，对于无向图，矩阵总是对称的

传递闭包是一个类似的概念，但它来自不同的领域。假设您有一组对象，对于其中一些对象，您知道其中一个肯定比另一个好，因此您可以编写

a>b

（“>”是“better”的缩写）。当然，你应该假设如果

a>b
和
b>c
那么
a>c
。这被称为及物性规则。然后，对于你想知道的任何两个对象，不管是其中一个比另一个好，还是未知。这就是闭包：首先，你有一个可能不可传递的关系，但是在假设了可传递性之后，你可以将它完成为一个可传递的关系

要解决这个问题，您需要构造一个有向图，其中一个顶点对应于所提到的每个对象（
a
，
b
，
c
，等等），其中有向边
u->v
存在当且仅当
u>v
。然后你可以构造第一段中定义的路径矩阵，它会给你答案：显然，两个顶点之间的路径的存在等同于一个关系链的存在，如
u>a>b>z>v
所以，根据及物性规则，
u>v

作为传递闭包的旁注，当您询问有向图和无向图时，给出的示例使用了非对称关系（>），此后该图是有向的，但情况并非总是如此。例如，任何等价关系总是满足传递性，但也必须满足对称性，所以对应的图是无向的。你可以找到对称关系（或图形）的传递闭包。
我认为unkulunkulu的答案相当完整，但考虑到JMSA的观点，我将进行另一次尝试

我们不要从路径矩阵开始，而是从开始。邻接矩阵是图的标准表示形式。如果adj是某些图的邻接矩阵G，那么adj[i][j]=1如果顶点i与顶点j相邻（即存在从i到j的边），则0。换句话说，adj[i][j]==1当且仅当我们可以在一个“步骤”中从顶点i到顶点j

现在，让我们定义另一个矩阵，我称之为adj2：adj2[I][j]==1当且仅当我们可以通过两个或更少的步骤从顶点I到顶点j。你可以称之为“两步邻接”矩阵。重要的是，adj2可以用adj来定义：

def adj2(i,j):
    if adj(i,j) == 1:
        return 1
    else:
        for k in range(0,n): # where n is the number of vertices in G
            if adj(i,k) == 1 and adj(k,j) == 1:
                return 1
    return 0

也就是说，如果i与j相邻（即adj[i][j]=1），则adj[i][j]为1）或者，如果存在其他一些顶点k，您可以从i步进到k，然后从k步进到j（即adj[i][j]==1和adj[k][j]==1）

可以想象，您可以使用相同的逻辑定义“三步”邻接矩阵adj3、adj4、adj5，等等。如果继续足够长的时间（例如，到adjn，其中n是图中的顶点数），就会得到一个矩阵，告诉您从顶点i到顶点j是否有任何长度的路径。当然，这也是图的路径矩阵：adjn[i][j]==path[i][j]表示所有i，j。（注意：不要将路径矩阵与路径矩阵混淆。）

数学家会说，路径[i][j]是图G上adj[i][j]的传递闭包

传递闭包独立于图论而存在adj不是唯一具有传递闭包的事物。粗略地说，它们都有一个传递闭包

等式（=）和不等式（，=）运算符是此类函数的常见示例。然而，它们与adj的不同之处在于它们本身。“f（i，j）是可传递的”意思是如果f（i，j）==true，并且f（j，k）==true，那么f（i，k）==true。你知道这个属性适用于“小于”关系：从a和b，你可以推断a。传递函数f的传递闭包就是f

adj通常不及物。考虑图表：

v1---v2---v3

在该图中，adj可能表示函数busBetween（city1，city2）。这里有一条从v1到v2的巴士（adj[1][2]==1），还有一条从v2到v3的巴士（adj[2][3]==1），但没有从v2到v3的巴士
v1---v2---v3
 \        /
   \----/