Graph 寻找最佳子图

我正在尝试解决以下问题：

给定一个连通图G=（V，E）和一个顶点t∈ 五、 我需要找到一个子图G'=（V'，E'），其中t∈ V’。G'应该最大化一些目标函数，并最小化它包含的顶点数

Max f(G')
Min |V'|

在这个多目标优化问题中，最大化f（G'）比最小化顶点数更重要

让我们检查一个类似问题的实际情况：

假设我们必须在一栋建筑物中设计一个特别的无线网络，其中客户端设备有一个固定的位置，并且只有一个AP连接到有线网络。最初，我们在每个房间放置一个AP，并使用传播模型计算可以连接的AP以及它们提供覆盖范围的客户端设备。在这个初始发行版中，可能有几个AP将覆盖同一个客户端设备，因此我们需要对其进行优化

图1。红点表示连接到有线网络的AP，黑点表示其余AP。AP之间的实线显示了它们的连接方式

图1中形成AP连接的图表示我们问题的连接图G，连接到有线网络的AP是节点t。优化表示此初始网络设计的图意味着找到包含连接到有线网络的AP的子图，并最大化覆盖的客户端设备的百分比（最大f（G'）），最小化AP的数量（最小V'）。与问题中一样，最大化覆盖的客户端设备的百分比是主要目标

图2。一个可能的解决办法

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使用蛮力算法，这似乎是一个NP完全问题；找到最佳解决方案需要检查所有可能的子图（所有子图都包含节点t）并证明可能的解决方案。你觉得怎么样？

这是NP完全。如果G'是k个顶点上的完全图，则设f（G'）=1，否则设为0。现在，这个问题只是寻找G是否有一个大小为k的团。

如果我们将这个问题专门化一点，找到O（n^3）中的所有顶点最短路径（使用f'作为度量）和与其他顶点的距离之和最小（最大）的顶点可以吗？用这个顶点作为答案？谢谢Eugen，这是一个有趣的想法，用f函数作为度量来寻找所有顶点之间的最短路径。注意，我在寻找一个子图，而不是一个节点；我不明白你的最后一个问题。我似乎有点误解了你的问题。好的，也许我会在接下来的几天里考虑这个问题。按照现在的说法，这个问题听起来很难解决。

f

看起来像什么？您可能需要利用

f

的各种属性来引导您在解决方案空间中的搜索。另一种缓和问题的方法：x近似值是否足够？你能提供的信息越具体，就越容易帮助你。