Graph 在加权无向图中，如何从一个特定的节点v开始寻找最小平均成本周期？

假设我们有一个加权无向图，边| E |的数目约为节点数| V |的k倍，即| E | ~=k*| V |

现在，选择一个节点，比如v，我们想要找到包含v的循环，其平均成本最小。（即，平均成本是指一个周期内的平均边缘重量。）

有没有有效的算法

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很抱歉，我错过了一点，循环不需要包含此图中的所有节点。这使得它不同于哈密顿循环问题。

这相当于，它是NP完全的。没有最坏情况下的多项式算法能够解决这个问题，除非

我们可以将哈密顿循环问题简化为这个问题：

• 选择任意顶点作为起点
• 将代价2指定给与此顶点关联的每条边
• 将成本1指定给所有其他边

一个n周期的平均成本是

（n+2）/n

——正

n

的递减顺序。对于v-顶点图，如果图是哈密顿图，则存在

（v+2）/v

的平均代价的循环。由于哈密顿图是否是NP完全的判定，这个问题是NP难的

与该问题相关的决策问题（“是否存在x通过顶点V的平均边成本的简单循环”）是NP：如果存在该平均长度的路径，则验证循环是否是具有足够低平均成本的有效循环需要

O（V）

时间（使用邻接矩阵表示）

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因此，您不能指望使用最坏情况下的多项式时间算法。但是，根据边缘成本的分布，分支定界算法或动态规划分支定界算法可能非常有效：

• （可选）删除不属于V所在的2顶点连接组件的所有顶点（V可以位于多个2顶点连接组件中）
• 枚举来自V的所有路径。将关联的优先级队列设为

  q

  ：
  • 从空路径开始
  • 选择成本估算最低的路径（下限）。如果是平局，请选择最新添加的路径
  • 将此paht添加到“完成”集合
  • 如果成本估算不低于c_best，则终止循环。否则,
  • 尝试每个输出边缘：
    • 如果新顶点已在路径中且（不是V或新路径将是两个循环+），则拒绝该边。否则,
    • 使用此边扩展路径，并计算此新路径的成本估算
    • 如果估计值不低于c_best，则拒绝此路径。否则,
    • 如果最后一个顶点是V，则将

      c_最佳路径

      设置为此路径，并将

      c_路径

      设置为其代价
    • 否则，如果具有相同访问顶点集和相同最后一个顶点（=签名）的路径尚未出现在“完成”集中，请将新路径添加到

      q

    • 如果要添加的路径与队列中的另一个路径具有相同的签名，请从队列中删除更昂贵的路径
• 返回

  c\u最佳路径

+：如果图是多重图，则需要获取两条最便宜的平行边，而不是两次获取同一条边。这可能最好在单独的步骤中处理

动态规划检查可能非常便宜（只是用一个顶点散列一个顶点集），但如果预期的保存很少（算法很可能提前结束），则可以忽略它-删除“完成”集并忽略队列中的任何重复项（具有相同签名的不同路径）

该算法适用于任何路径成本度量，只要可以计算下限。对于平均边缘成本问题，我可以想到几种启发式方法：

在任何情况下，如果路径是一个循环，则计算并返回其确切成本

一个简单的启发式方法是假设您可以访问所有剩余的顶点，其边不比整个图或2连通组件中最便宜的路径便宜。然后，相应的预期成本为

（成本+（v-边缘长度）*c\u min）/edge\u长度

。有利的一面是计算速度很快。缺点是，如果图很大，而且几乎没有边像最便宜的边那么便宜，那么该算法可以扩展很多路径，以到达它认为存在的“绿洲”

如果没有几条边像最便宜的边那样便宜，那么您可以准备一份图表中所有边中成本最低的

v

列表。然后，要估计一个图的代价，请考虑：仅使用最便宜边完成的路径，使用最便宜的两条边完成的路径，使用最便宜的三条边完成的路径<代码>而（exp\u成本减少且长度。有利的一面是，它可以做出更好的猜测。缺点是，如果存在大量降低估计值的边，则计算时间较长

始终必须使用路径起点顶点和终点顶点的公共边（如果存在）或与每个顶点邻接的一条边（

min\u cost\u adjanced（V）+min\u cost\u adjanced（end）

）。如果发现一条公共边，则可能在此处处理循环

在哈密顿循环缩减的情况下，前两种启发式算法的性能都同样差。启发式（1+3）和（2+3）的性能相同。最佳情况是时间上的线性。最坏的情况是使用动态编程的

O（v*k*2^v）

，或者不使用动态编程的

O（v*k*log（k）*k^v）

（假设优先级队列使用

O（log n）

推送、弹出最小值和减少键）

请注意，测试一般图中是否存在哈密顿圈的最著名算法是

O（1.657^v）

（）

实际上存在一个基于动力学的O（| v | | E |）算法