Graphics 找到一条与已知直线垂直相交的直线，给定一点

这是基本的图形几何和/或三角，问这个问题我觉得很傻，但我记不起是怎么回事了。因此：

我有一条由两点（x1，y1）和（x2，y2）定义的线

我有第三点（xp，yp），它位于其他地方

我想计算位于#1中直线某处的点（x'，y'），这样，当与#2中的点连接时，将创建一条与第一条直线垂直的新直线。

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谢谢。

您可以求解连接

（x1，y1）

和

（x2，y2）

的线的坡度。然后你就知道垂直线的斜率是负的

要查找y截距，请使用斜率查看直线在

y

中从

x=0

到

x1

的移动距离

b + (x1 - x0) * m = y1
b + (x1 -  0) * m = y1
b + (x1 * m)      = y1
b = y1 - x1 * m

然后，您可以使用上述斜率从

（xp，yp）

获得两点之间的直线和直线的公式。对于给定的x，它们有相等的y，所以你可以求解

x

，然后将其插入到

y

的公式中

m = slope_from_1_to_2  = (y2 - y1) / (x2 - x1)
n = slopePerpendicular = (-1) / m

b = intercept_for_1_to_2 = y1 - x1 * m
c = intercept_for_p      = yp - xp * n

因此，直线方程的形式如下

y=mx+b

第1点和第2点：

y（x）=mx+b

p点：

y（x）=nx+c

将它们的

y

设置为等于查找x'

mx' + b = nx' + c
(m-n)x' = c - b
     x' = (c - b) / (m - n)

因此，使用任一公式计算y'

答案是：

y=ax+b
where a=(x1-x2)/(y2-y1)
      b=yp-(x1-x2)*xp/(y2-y1)

如何获得结果：

1) slope for the original line:   (y2-y1)/(x2-x1)

2) slope for the answer: -1/((y2-y1)/(x2-x1)) = (x1-x2)/(y2-y1)

3) Plug this into (xp,yp) we can have the result line.

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从后面的几行中计算答案（太长了……我饿了）。

这种计算几何中的一个有用的经验法则是，你应该尽可能长时间地使用向量，切换到笛卡尔坐标系只是作为最后的手段。让我们用向量代数来解决这个问题。假设你的直线从p到p+r，另一点是q

现在，直线上的任何点，包括您试图找到的点（称之为s），都可以表示为标量参数λ的s=p+λr

现在从q到s的向量必须垂直于r。所以

（q− （p+λr）·r=0

火车在哪里。扩展产品：

（q− p）·r=λ（r·r）

并划分：

λ=（q− p）·r/r·r

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当您开始实施它时，您需要检查r·r=0，以避免被零除。

您可以首先考虑一个通用点

（x，y）

，沿着

（x1，y1）

到

（x2，y2）

的直线找到该点：

从

（xp，yp）

将

x

和

y

的定义替换为

E = (x1 + t*(x2 - x1) - xp)**2 +
    (y1 + t*(y2 - y1) - yp)**2

然后，为了找到该距离变化的最小值

t

，我们推导出

E

关于

t

dE/dt = 2*(x1 + t*(x2 - x1) - xp)*(x2 - x1) +
        2*(y1 + t*(y2 - y1) - yp)*(y2 - y1)

t = ((xp - x1)*(x2 - x1) + (yp - y1)*(y2 - y1)) /
    ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)

经过计算得出

dE/dt = 2*((x1 - xp)*(x2 - x1) + (y1 - yp)*(y2 - y1) +
           t*((x2 - x1)**2 + (y1 - y2)**2))

当这个导数为零时，我们得到了

t

dE/dt = 2*(x1 + t*(x2 - x1) - xp)*(x2 - x1) +
        2*(y1 + t*(y2 - y1) - yp)*(y2 - y1)

t = ((xp - x1)*(x2 - x1) + (yp - y1)*(y2 - y1)) /
    ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)

因此，可以使用

（x，y）

定义中

t

的值来计算最终点

使用向量表示法，这与Gareth建议的公式完全相同

t = <p - p1, p2 - p1> / <p2 - p1, p2 - p1>

t=/

其中符号

表示点积运算

ax*bx+ay*by

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还要注意，同样的公式也适用于n维空间。

对于那些用向量寻找具体例子的可怜的灵魂。。。在这里，我以加雷斯的回答为基础

有一个从p到r的向量（从0,0到50，-50）和另一个点q，它在（50,0）处。q和从p到r的向量的直角交点是{x:25.y:-25}，由下面的代码导出

const p=[0,0]；
常数r=[50，-50]；
常数q=[50,0]；
常数l=数学加法（p，r）；
常数m=math.dot（math.subtract（q，p，r）/math.dot（r，r）；
console.log（'intersection point'，math.multiply（l，m））
基于


设x1，x2，y1，y2，斜率，xp，yp，m，x，y
x1=0
y1=0
x2=50
y2=-50
xp=50
yp=0
斜率=（y1-y2）/（x1-x2）
m=-1/坡度
x=（m*xp-yp-斜率*x1+y1）/（m-斜率）
y=m*x-m*xp+yp
log（'x:'，x'，y:'，y）
谢谢。在方程中，
y（x）=mx+y2
——为什么要用
y2
来代替
b
？好的一点是，
b
应该是y轴截距，直线在y轴上
y2
不一定是这样，让我看看我的数学。使用公式
y=m*x+q
来解决真正的二维问题意味着寻找麻烦。你不能用这种方法处理垂直线；最好使用参数方程
x=x（t），y=y（t）
。这不适用于
y1=y2
（除以零）。实际上，在处理真正的二维问题时，不应该使用基于“斜率”的公式。公式
y=mx+q
只在你处理1.5维问题（即图形
y=y（x）
）时有效。@6502 Hmm。谢谢你在将来为我保存了这些错误，因为我不太可能再忘记它。谢谢你在向量方面的启发性思考。谢谢你。给你一个被接受的答案，就像你的答案一样，是唯一一个接受我所知道的（笛卡尔坐标）并给我一个实际公式来插入它们的答案。（我喜欢向量的想法，但考虑到我的几何记忆，这会引发更多的问题。）