Haskell 基于本原递归的二元自然数加法

给定二进制自然数，零表示“两次”表示和“两次加一”表示。如何使用原语递归（仅使用函数

foldBNat

）表示加法

--zero | n*2 | n*2+1
数据BNat=Z | T BNat | TI BNat
派生（显示）
foldBNat:：BNat->t->（BNat->t->t）->（BNat->t->t）->t
foldBNat n z t ti=
案例n
Z->Z
TM->TM（折叠NAT m z T ti）
TI-m->TI-m（折叠式m-z-t-TI）
div2:：BNat->BNat
div2 n=foldBNat n Z（\m\uuUm->m）（\m\uUm->m）
pred:：BNat->BNat
pred n=foldBNat n Z（\\ur->TI r）（\m\ut->m）
成功：：BNat->BNat
succn=foldbnatn（tiz）（\m\u->tim）（\\ur->tr）
想法：要计算
a+b
，我们需要增加
b
a
次。因此：

0 + b = b
1 + b = succ b
2 + b = succ (succ b)
3 + b = succ (succ (succ b))
...

incBy 0 = id
incBy 1 = succ
incBy 2 = succ . succ
incBy 3 = succ . succ . succ
...

我们可以从写作开始

plus a b = foldBNat a b (\m r -> ...

但是在这里我们被卡住了：
m
代表
a
的一半（因为这里
a=tm
，即
a=2*m
），而
r
是
b
m
次递增的结果（即
m+b
）。我们对此无能为力。我们想要的是
a+b=2*m+b
，这是我们无法直接从
m+b
获得的。应用
T
只会给我们
2*（m+b）=2*m+2*b
，这太大了，根据规则，我们不能直接递归
plus
来计算
m+（m+b）=2*m+b

我们需要的是一种更直接的方式来操作
succ
操作的数量

想法：不要直接计算一个数字；而是计算一个函数（将其参数递增一定次数）。因此：

我们可以直接实施：

incBy :: BNat -> (BNat -> BNat)
incBy n = foldBNat n id (\_ r -> r . r) (\_ r -> succ . r . r)

这里是
r。r
给我们提供了一个函数，该函数将一个数字的增量增加到
r
的两倍（通过应用
r
两次）

现在我们可以简单地将加法定义为：

plus :: BNat -> BNat -> BNat
plus n m = (incBy n) m

（这恰好是多余的，因为
plus=incBy
）。
谢谢，回答得很好！我希望有一种更有效的加法方法，但我想这里的问题是原始递归？结构递归会允许更有效的算法吗？一般递归呢？回答我自己的评论，使用结构/一般递归可以做得更好。