Haskell 商类型如何帮助安全地公开模块内部？

在阅读商类型及其在函数式编程中的使用时，我偶然发现。作者举了一个模块的例子，该模块提供了大量需要访问模块内部的功能：

Data.Set

有36个功能，而确保集合含义（“这些元素是不同的”）真正需要的是

toList

和

fromList

作者的观点似乎是，如果我们忘记了一些仅使用模块内部就可以有效实现的功能，那么我们需要“打开模块并打破抽象”

他接着说

我们可以用商类型来缓解所有这些混乱

但没有解释这一说法

所以我的问题是：商类型在这里有什么帮助

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编辑

我做了更多的研究，发现了一篇论文。它详细阐述了声明商容器，并在摘要和引言中提到“有效”一词。但如果我没有误读，它不会给出任何有效表示“隐藏在”商容器后面的示例

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编辑2

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在第3章中会有更多的介绍。事实上，商类型可以实现为相依和。介绍了抽象类型的视图（在我看来，它与类型类非常相似），并提供了一些相关的Agda代码。然而，本章的重点是关于抽象类型的推理，因此我不确定这与我的问题有何关系。

免责声明：我只是在阅读了这个问题后阅读了商类型

我想作者只是说集合可以被描述为列表上的商类型。Ie：（编一些类似haskell的语法）：

也就是说，一个

集合a

就是一个

[a]

，两个

集合a

之间的相等取决于

是否排序。基础列表的nub

是相等的

我想我们可以这样做：

import Data.List

data Set a = Set [a] deriving (Show)

instance (Ord a, Eq a) => Eq (Set a) where
  (Set xs) == (Set ys) = (sort $ nub xs) == (sort $ nub ys)

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不确定这是否是作者的意图，因为这不是实现集合的特别有效的方法。有人可以随意纠正我。

我将给出一个简单的例子，其中比较清楚。诚然，我自己并不认为这会有效地转化为类似于

Set

data Nat = Nat (Integer / abs)

为了安全地使用它，我们必须确保任何函数

Nat->T

（为了简单起见，带有一些非商T）都不依赖于实际的整数值，而只依赖于其绝对值。要做到这一点，实际上没有必要完全隐藏

Integer

；这足以阻止您直接匹配它。相反，编译器可能会重写匹配项，例如

even' :: Nat -> Bool
even' (Nat 0) = True
even' (Nat 1) = False
even' (Nat n) = even' . Nat $ n - 2

可以改写为

even' (Nat n') = case abs n' of
           [|abs 0|]  -> True
           [|abs 1|]  -> False
           n          -> even' . Nat $ n - 2

这样的重写会指出等价性冲突，例如

bad (Nat 1) = "foo"
bad (Nat (-1)) = "bar"
bad _ = undefined

将重写为

bad (Nat n') = case n' of
      1 -> "foo"
      1 -> "bar"
      _ -> undefined

这显然是一个重叠的模式。

我最近做了一个评论，我在这里被一条评论引导。除了问题中引用的论文外，博客文章还可能提供一些额外的上下文

答案其实很简单。一种方法是问这样一个问题：为什么我们首先要为

data.Set

使用抽象数据类型

有两个截然不同的原因。第一个原因是将内部类型隐藏在接口后面，以便将来可以替换一个全新的类型。第二个原因是对内部类型的值强制执行隐式不变量。商类型及其双重子集类型允许我们使不变量显式，并由类型检查器强制执行，这样我们就不再需要隐藏表示。所以让我非常清楚：商（和子集）类型不会为您提供任何实现隐藏。如果实现

Data.Set

时使用列表表示商类型，然后决定使用树，则需要更改使用类型的所有代码

让我们从一个简单的例子开始（leftaroundabout's）。Haskell有一个

Integer

类型，但不是

Natural

类型。使用组合语法将

Natural

指定为子集类型的简单方法是：

type Natural={n:：Integer | n>=0}

我们可以使用一个智能构造函数将其实现为一个抽象类型，当给定一个负的

整数时，该构造函数会抛出一个错误。此类型表示只有
Integer
类型的值的子集有效。实现此类型的另一种方法是使用商类型：

type Natural=Integer/~其中n~m=abs n==abs m

对于某些类型
T
的任何函数
h:：X->T
都会在
X
上产生一个商类型，商类型由等价关系
X~y=hx==hy
确定。这种形式的商类型更容易编码为抽象数据类型。但是，一般来说，可能没有这样方便的功能，例如：

类型对a=（a，a）/~其中（a，b）~（x，y）=a==x&&b==y | | a==y&&b==x

（至于商类型如何与setoid相关，商类型是一个setoid，它强制你尊重它的等价关系。）自然的第二个定义有两个值表示
2
，比如说。即，
2
和
-2
。商类型方面说，我们可以对底层的
整数
做任何我们想做的事情，只要我们永远不会产生区分这两个代表的结果。另一种方式是，我们可以使用子集类型将商类型编码为：

X/~=对于所有a。{f:：X->a | forEvery（\（X，y）->X~y=>fx==fy）}->a

不幸的是，这相当于检查函数的相等性

缩小后，子集类型会在上添加约束
bad (Nat n') = case n' of
      1 -> "foo"
      1 -> "bar"
      _ -> undefined