Haskell 是否有可能在具有简单不一致公理的构造演算中提取Sigma的第二个元素？

在构造演算中提取Sigma的第二个元素是非常必要的。此外，似乎没有已知的、简单的方法来扩展具有相依消去的构造演算而不丢失一致性。因此，如何利用一个简单但不一致的公理（例如

类型：Type

或不受限制的递归，例如

μ

）来提取Sigma的第二个元素

也就是说，给定以下西格玛构造函数：

Sigma =
  λ A : *
  λ B : A -> *
  λ a : A
  λ b : B
  λ Data : *
  λ Sigma :
    ∀ fst : A
    ∀ snd : B fst
    Data
  Sigma a b

---

在与构造演算相当的语言中，除了使用

Type:Type

或其他一些简单的不一致公理外，是否可以实现一个函数，该函数在给定一个术语（如

Sigma-Nat（\x->Nat）36

）时提取第二个值，

6

？

在类型理论如马丁-洛夫类型理论或结构演算的背景下，“不一致性”通常指逻辑不一致性：能够为所有T:type，T导出类型为

的术语
contra
。在这种情况下，任何其他类型的
T
都有人居住：只需对其应用
contra

不幸的是，在大多数类型理论中，“有人居住”并没有告诉我们任何关于可兑换性或定义平等性的信息，因为没有类型表示两个术语
x
和
y
是可兑换的。这意味着
没有办法导出术语

fst : Sigma A B -> A
snd : forall s : Sigma A B, B (fst s)

这样
fst（Sigma\ux y）
简化为
x
和
snd（Sigma\ux y）
借助逻辑矛盾，简化为
y
。（我有点滥用符号，对构造函数和类型都使用了
Sigma
）但是，你可以使用
contra
来假设
fst
和
snd
的存在，并断言相应的方程在命题上成立

在普通CoC中，如果存在类型项，我们说两个项
x1
和
x2
在命题上相等

forall T, T x1 -> T x2

（这有时被称为莱布尼茨等式：如果持有第一个谓词的每个谓词都持有第二个谓词，那么两个术语是相等的。）为
snd
声明一个类似的表达式有点复杂，因为
snd（Sigma\ux y）
和
y
没有相同的类型（前者是
B（fst（Sigma\ux y））)
，而后者是类型
Bx
）。我们可以通过同时为
fst
和
snd
断言简化引理来解决这个问题：

forall (T : forall x : A, B x -> Type),
  T (fst (Sigma _ _ x y)) (snd (Sigma _ _ x y)) -> 
  T x y

编辑
关于你的评论：由于可兑换性通常不能用一个类型来表示，我们需要修改类型理论中的定义，使之具有一个真正的带有第一和第二投影的西格玛类型——这是一个比简单假设某些公理成立更微妙的操作。有一些系统可以实现这一点，例如Inria开发的验证检查器。
IMHO您需要使您的问题更精确，特别是您“提取”的条件是什么。显然，如果我的演算不一致，我可以通过底部消去法提取我想要的任何东西。@ejgallego对你来说可能是显而易见的，但对我来说不是！我已经按照要求把这个问题做得更精确了。事实上，这个问题现在更精确了，因为你需要提取，以恢复原始的项与约化规则的模。我不是说这个问题很明显，但事实上，添加不一致的公理通常意味着你可以定义一个简单的提取函数，因此你必须小心精确的定义。啊，很有见地，回答了这个问题。不过，我想知道用什么样的公理来提取它。在Coq上，这是可能的，但我不确定背后的逻辑是什么。“谢谢你的回答，我就是这么问的。”MaiaVictor补充了一些细节。