Haskell中整数的非整数居民

Haskell中定义为

data Peano=Zero | succpeano

的Peano自然数是非常奇怪的野兽：除了普通的自然数和底值之外，还有一个“无限整数”

inf=succinf

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是否有

Peano

类型的其他居民？这个无穷大的数字有名字吗？

好吧，有

成功| | 

，

成功（成功| | |)

等等。不过，你可能已经把它们包括在“底部值”中了

inf=Succ-inf

通常被称为

infinity

或

omega

（作为自然数的序数）。

它们并不奇怪，它们只是自然的共导。撇开安全问题不谈⊥, 我们可以在这里将自然数类型定义为由应用于自然数的

Zero

或

Succ

组成。归纳定义将假定一个定义明确的端点，即任何数字都从

零开始。共导定义只是说，给定任何自然数，它要么是
0
，要么我们可以删除外部的
Succ
，以获得另一个自然数

表面上细微的区别在于，共导定义包含一系列无尽的
Succ
构造函数，这实际上是无限的真实表示。这是有意义的，因为归纳定义是关于确保递归将达到一个定义良好的基本情况，而共归纳定义是关于确保总是有一个定义良好的下一步可用

在Haskell中，由于数据构造函数的惰性，共导解释很方便，并且在某些方面是必须的

所以，这个无穷数实际上是无穷大，或者ω，如果你需要指定哪个无穷大，就像丹尼尔·菲舍尔说的。这只是一个共导无限，很像是更常见的无限列表

如果你认为自然数是通过church编码的，那么有限数意味着“将这个函数迭代N次”；ω的意思是“无限期地迭代这个函数”。
这通常被称为“扩展自然数”，它经常以一种非常简单的方式出现：，@sclv：作为Haskell程序员，我最喜欢的事情是人们说某些东西“简单”，然后用nLab的链接来说明它，哈哈。但是，是的，我以前读过这些，它们很有趣。哈哈，我想我有一个“直截了当”的移动目标，我用它来表示“我实际上可以挥手解释一下”，就像人们用“琐碎”来表示“如果有足够的时间，我肯定我可以证明这一点。”@sclv：我喜欢费曼对“琐碎”的定义基于对数学学生的观察，这大致是“任何已经被证明或显然可以通过一些努力被证明的东西”。“平凡”的反义词可能是“一个开放的问题”。但既然
inf=succinf
，它就不能是自然数的序号，对吗？它将同时是ω和ω+1。
inf
与aleph null不是更相似吗？N的基数取决于您是将
succn
解释为
N+1
还是
1+N
，
1+ω=ω/=ω+1
。