Haskell 如何阅读本GHC核心文件“；证明；？_Haskell_Ghc_Proof_Haskell Platform_Formal Verification

Haskell 如何阅读本GHC核心文件“；证明；？

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Haskell 如何阅读本GHC核心文件“；证明；？,haskell,ghc,proof,haskell-platform,formal-verification,Haskell,Ghc,Proof,Haskell Platform,Formal Verification,我写了这一小段Haskell来解释GHC如何证明自然数只能将偶数减半： {-# LANGUAGE DataKinds, GADTs, KindSignatures, TypeFamilies #-} module Nat where data Nat = Z | S Nat data Parity = Even | Odd type family Flip (x :: Parity) :: Parity where Flip Even = Odd Flip Odd = Even

我写了这一小段Haskell来解释GHC如何证明自然数只能将偶数减半：

{-# LANGUAGE DataKinds, GADTs, KindSignatures, TypeFamilies #-}
module Nat where

data Nat = Z | S Nat

data Parity = Even | Odd

type family Flip (x :: Parity) :: Parity where
  Flip Even = Odd
  Flip Odd  = Even

data ParNat :: Parity -> * where
  PZ :: ParNat Even
  PS :: (x ~ Flip y, y ~ Flip x) => ParNat x -> ParNat (Flip x)

halve :: ParNat Even -> Nat
halve PZ     = Z
halve (PS a) = helper a
  where helper :: ParNat Odd -> Nat
        helper (PS b) = S (halve b)

核心的相关部分变成：

Nat.$WPZ :: Nat.ParNat 'Nat.Even
Nat.$WPZ = Nat.PZ @ 'Nat.Even @~ <'Nat.Even>_N

Nat.$WPS
  :: forall (x_apH :: Nat.Parity) (y_apI :: Nat.Parity).
     (x_apH ~ Nat.Flip y_apI, y_apI ~ Nat.Flip x_apH) =>
     Nat.ParNat x_apH -> Nat.ParNat (Nat.Flip x_apH)
Nat.$WPS =
  \ (@ (x_apH :: Nat.Parity))
    (@ (y_apI :: Nat.Parity))
    (dt_aqR :: x_apH ~ Nat.Flip y_apI)
    (dt_aqS :: y_apI ~ Nat.Flip x_apH)
    (dt_aqT :: Nat.ParNat x_apH) ->
    case dt_aqR of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqU ->
    case dt_aqS of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqV ->
    Nat.PS
      @ (Nat.Flip x_apH)
      @ x_apH
      @ y_apI
      @~ <Nat.Flip x_apH>_N
      @~ dt_aqU
      @~ dt_aqV
      dt_aqT
    }
    }

Rec {
Nat.halve :: Nat.ParNat 'Nat.Even -> Nat.Nat
Nat.halve =
  \ (ds_dJB :: Nat.ParNat 'Nat.Even) ->
    case ds_dJB of _ {
      Nat.PZ dt_dKD -> Nat.Z;
      Nat.PS @ x_aIX @ y_aIY dt_dK6 dt1_dK7 dt2_dK8 a_apK ->
        case a_apK
             `cast` ((Nat.ParNat
                        (dt1_dK7
                         ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N
                         ; Nat.TFCo:R:Flip[0]))_R
                     :: Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd)
        of _
        { Nat.PS @ x1_aJ4 @ y1_aJ5 dt3_dKa dt4_dKb dt5_dKc b_apM ->
        Nat.S
          (Nat.halve
             (b_apM
              `cast` ((Nat.ParNat
                         (dt4_dKb
                          ; (Nat.Flip
                               (dt5_dKc
                                ; Sym dt3_dKa
                                ; Sym Nat.TFCo:R:Flip[0]
                                ; (Nat.Flip (dt_dK6 ; Sym dt2_dK8))_N
                                ; Sym dt1_dK7))_N
                          ; Sym dt_dK6))_R
                      :: Nat.ParNat x1_aJ4 ~# Nat.ParNat 'Nat.Even)))
        }
    }
end Rec }

Nat.$WPZ:：Nat.ParNat'Nat.偶
Nat.$WPZ=Nat.PZ@'Nat.偶@~Nat.Nat
纳特：减半=
\（d_dJB:：Nat.ParNat'Nat.Even）->
个案D_dJB of{
Nat.PZ dt_dKD->Nat.Z；
Nat.PS@x_aIX@y_aIY dt_dK6 dt1_dK7 dt2_dK8 a_apK->
案例a_apK
`演员`（（Nat.ParNat）
（dt1_dK7）
（Nat.Flip（dt2_dK8；Sym dt_dK6））\N
；Nat.TFCo:R:Flip[0]）\R
：：Nat.ParNat x_aIX~#Nat.ParNat'Nat.Odd）
的_
{Nat.PS@x1_aJ4@y1_aJ5 dt3_dKa dt4_dKb dt5_dKc b_apM->
纳特
（自然减半
（b_apM）
`演员`（（Nat.ParNat）
（dt4_dKb）
（纳特·弗利普）
（dt5_dKc）
；Sym dt3_dKa
；Sym Nat.TFCo:R:Flip[0]
（Nat.Flip（dt_dK6；Sym dt2_dK8））\N
；Sym dt1_dK7）_N
；Sym dt_dK6））\u R
：：Nat.ParNat x1_aJ4~#Nat.ParNat'Nat.偶）
}
}
结束记录}

我知道通过翻转类型族的实例强制转换类型的一般流程，但有些事情我不能完全遵循：

```
@~\N
```
的意思是什么？它是x的翻转实例吗？这与
```
@（Nat.Flip x_apH）
```
有何不同？我对
和
```
\N
```
都感兴趣

关于第一次铸入

减半

：

```
dt_dK6
```
、
```
dt1_dK7
```
和
```
dt2_dK8
```
代表什么？我知道它们是某种等价证明，但哪一种是哪一种
我知道
```
Sym
```
是通过一个等价关系运行的

什么是


这些后缀是什么
TFCo:R:Flip[0]
和TFCo:R:Flip[1]
是Flip的实例吗

是强制应用程序
尖括号表示其包含类型的反身强制，角色由带下划线的字母给出
因此，\N
是一个等式证明，Nat.Flip x_apH
名义上等于Nat.Flip x_apH
（作为相等的类型，而不仅仅是相等的表示）
PS有很多论点。我们查看智能构造函数$WPS
，我们可以看到前两个分别是x和y的类型。我们有证据证明构造函数参数是Flip x
（在这种情况下，我们有Flip x~偶数
。然后我们有证据x~ Flip y
和y~ Flip x
。最后一个参数是ParNat x
的值
现在，我将介绍类型Nat.ParNat x_aIX~#Nat.ParNat'Nat.Odd的第一次转换

我们从（Nat.ParNat…）（在这种情况下，它们是相同的，但我们不需要这些知识来执行演员阵容）
现在我们来看一下证明的主体（dt1\u dK7；（Nat.Flip（dt2\u dK8；Sym dt\u dK6））\N；Nat.TFCo:R:Flip[0]）
，

意味着传递，即按顺序应用这些证明

dt1_dK7

是

x#u aIX~#Nat.Flip y_aIY

的证明

如果我们看一下

（dt2_dK8；Sym dt_dK6）

dt2_dK8

显示

y#aIY#Nat.Flip x#aIX

dt#dK6

属于

类型的Nat.偶#Nat Nat

的类型为

y#aIY##Nat.偶数

因此，

（Nat.Flip（dt2_dK8；Sym dt_dK6））\N

证明了

Nat.Flip y#aIY~#Nat.Flip'Nat.Even

Nat.TFCo:R:Flip[0]

是Flip的第一条规则，即

Nat.Flip'Nat.偶~#'Nat.Odd'

把它们放在一起，我们得到了

（dt1_dK7；（Nat.Flip（dt2_dK8；Sym dt_dK6））\N；Nat.TFCo:R:Flip[0]）

的类型是

x#aIX ~'Nat Odd

第二个更复杂的角色有点难演，但应该遵循同样的原则。

我不知道，但我猜_N和_R是象征性和代表性的角色：访问希望你有想法。。真的，我刚刚发了那篇帖子，想看看是否有人能理解那团混乱。^干得好，先生。