Haskell Don'；不理解幺半群定义中态射的表示法

我试图从范畴理论的角度理解什么是

幺半群，但我对用来描述它的符号有点困惑。以下是维基百科：

在范畴论中，单纯形范畴（C，⊗, 一） 是一个带有两个态射的对象M

μ：M⊗ M→ 我叫乘法

η：我→ 我叫单位

我的困惑是关于态射符号。为什么二进制操作是
⊗变形符号的一部分？我对态射的理解是，它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到辅域）的函数，如
M→ M
。为什么操作
⊗定义中域的一部分？第二个困惑是关于
I
。为什么
I
是一个域？
Monoid
中根本没有
I
对象。它只是对象
M
的一个中性元素

我知道
Monoid
是一个包含一个对象、一个恒等态射和一个在这个对象上定义的二进制运算的范畴，但是这个符号让我觉得我不明白什么

Is
M⊗ M
以某种方式与笛卡尔积相关，因此态射的域被定义为
mxm

编辑：我在网上得到了一个非常有用的答案

Is
M⊗ M
和笛卡尔积有什么关系，所以态射的域被定义为
mxm

没错。更具体地说，我们通过选取Hask（所有Haskell类型作为对象，所有Haskell函数作为态射的类别）作为C，
（，）
（成对类型构造函数）作为⊗, 和
（）
（单位类型）为I。μ和η的签名，翻译成Haskell，然后变成：

μ :: (M, M) -> M
η :: () -> M

通过求μ，并利用
（）->M
函数如何与
M
值一一对应（对于某些
M
，它们看起来都像
\（）->M
），我们得到了熟悉的
幺半群
方法：

mappend :: M -> M -> M
mempty :: M

请注意，分类定义远比仅
Monoid
更一般。例如，我们可能会继续在Hask中工作，同时将
（，）
和
（
替换为它们的对偶，
或者
或者
Void
，从而得到：

μ :: Either A A -> A
η :: Void -> A

每个Haskell类型都是一个幺半群，以这种特殊的方式（μ是
或者id是
，η是）


另一个例子是将C作为Haskell
函子
s的范畴（它们之间有自然变换——我将把它们写成
typef~>g=forall a.fa->ga
——作为态射），如下所示：⊗, 正如我所说：

这两种情况通常写为：

-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a

换句话说，
单子
是
函子
s类中的幺半群（这是“单子是内功能子类中的幺半群”的特定版本）。值得一提的是，正如在另一个例子中一样，这并不是将幺半群从该类别中去掉的唯一方法（请参阅的最后一段，以获取指针——事实上，它的其余部分可能是相关阅读，因为它讨论了幺半群类别的概念）。
您从集合论的角度理解了什么是幺半群吗？定义只是——除了“因为我们观察到有很多事情我们想一致地谈论，它们是那样的”之外，对于“为什么定义是那样的”几乎没有什么答案。所以我真的无法想象理智地回答这个问题。但我可以想象，回答“这个定义和集合论定义的各个部分是如何对应的？”，好的。因为你（现在被删除）的评论说你对集合论的定义很感兴趣，当我吃完午饭回来，如果还没有答案，我会写一篇描述，描述两个定义的部分是如何对应的；“和一个对象与范畴的联系是由定义引出的。@daniel wanger是的，我从集合论中理解了什么是幺半群（至少是主要思想）。我甚至对范畴理论中的概念有一些“不稳定”的理解。我现在的主要问题（至少我认为这是最主要的问题））是我不懂如何阅读符号。是否有某种规则规定在左侧（域）只能有对象？。因为这样的定义对我来说很奇怪。就像它是从object
I
（不是object）到
M
的态射。或
M⊗ M
是一种域。但我真的很感激你的回答。警告！工作中有不同但相关的概念！带有一个对象的类别对应于传统的幺半群概念（例如，通过在现场跳来跳去，你可以从现在的位置到达现在的位置）。单倍体范畴的概念是另一回事：它们可以有更有趣的对象集合，其中（X）和I可以归纳出类单倍体的结构（Haskell类型上的（，）方式是联想的，吸收（）直至同构）。单词“单倍体范畴”是必不可少的，你要问的这些操作符就是从这里来的。你似乎忽视了他们。
-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a