Isabelle auto prover研究引理，研究引理的特例

为什么第二引理的“自动”证明挂起？第二个引理是第一个引理的特例

  primrec ListSumTAux :: "nat list ⇒ nat ⇒ nat" where
    "ListSumTAux []     n = n" |
    "ListSumTAux (x#xs) n = ListSumTAux xs (n+x)" 

  lemma ListSumTAux_1 : " ∀a b. ListSumTAux xs (a+b) = a + ListSumTAux xs b"
    apply (induct xs)
    apply (auto)       (* Works fine *)
  done  

  lemma ListSumTAux_2 : "∀ a. ListSumTAux xs a = a + ListSumTAux xs 0 "  
    apply (induct xs)
    apply (auto)       (* Hangs on this *)
  oops

---

首先：使用HOL通用量词

∀。不管怎样，目标中的自由变量都是隐式通用量化的，因此您可以省略
∀。但是，您将告诉
归纳
命令在归纳步骤中使用
任意
对这些变量进行通用量化：

lemma ListSumTAux_1 : "ListSumTAux xs (a+b) = a + ListSumTAux xs b"
  apply (induct xs arbitrary: a b)
  apply (auto)
done  

现在，来回答你的问题：
auto
被卡住了，因为你的归纳假设的形式

⋀a. ListSumTAux xs a = a + ListSumTAux xs 0

auto
使用Isabelle的简化器，将此作为重写规则。但是，您会注意到，此规则的左侧与此循环的右侧匹配，这将导致无限重写序列

ListSumTAux xs a → a + ListSumTAux xs 0 → a + (0 + ListSumTAux xs 0) → 
    a + (0 + (0 + ListSumTAux xs 0))

发生这些情况时，您可以做以下几件事：

你可以做一个结构化的Isar证明，并手工操作
您可以尝试翻转有问题的等式，即将目标写为
a+ListSumTAux xs 0=ListSumTAux xs a
。那么左手边和右手边就不匹配了
你可以引入一个额外的前提，比如
a≠ 0
到防止简化器循环的等式
在任何情况下，你都无法用这种方式证明你的目标，因为它太具体了：如果你将你的目标表述为
ListSumTAux xs a=a+ListSumTAux xs 0
，那么你在归纳假设中也会有一个
0
，但当然，你的累加器并不总是
0

归纳证明中的一个常见问题是，尤其是当涉及累加器时，你需要在证明工作之前对你的陈述进行概括，以加强归纳假设——就像你在引理的第一个陈述中所做的那样，
ListSumTAux\u 1