Isabelle 会员证明

我需要证明以下几点：

lemma  "m = min_list(x#xs) ⟹ m ∈ set (x#xs)"

简单地说，我需要证明“min#u list（x#xs）”的返回值始终是（x#xs）的成员

我试过：

apply(induct xs)
apply(auto)

我还尝试使用以下方法重用min_列表的现有引理：

find_theorems min_list

此时的次级目标太长，我不知道如何继续

---

我不是在寻找一个完整的答案，只是关于如何处理这个引理的提示。此外，对于刚刚学习Isabelle的人来说，这个证明是简单的还是非常困难的？

扰流器：可以使用标准列表归纳法和

auto

来证明这个定理，即类似于

的东西（导入xs…）

。我故意在证明中省略了部分供您自己填写。您需要考虑是否需要将任何变量（即

m

或

x

）指定为

任意
，并了解简化程序可能需要哪些信息（在理论
列表
中的
min\u列表
说明中寻找线索）

关于你关于问题难度的问题，我认为，难度是经验的函数。最肯定的是，当我开始学习Isabelle时，我发现很难将类似于你问题中的证明形式化。在花了一段时间在Isabelle编写代码之后（在回答这个问题时，我必须在
Isabelle
中累积相当于4-5个月的全职编码时间），这些问题对我来说似乎不再是一个重大挑战。当然，还有其他因素需要考虑，例如以前的数学或逻辑培训以及以前的编码经验


由自学Isabelle的人提供的一般建议（建议可能与专业讲师通常推荐的方法不一致）

我认为，在证明类似结果时，重要的是要了解Isabelle主要是“纸笔”证据形式化的工具。因此，在尝试将“纸笔”证据形式化之前，手边有“纸笔”证据非常重要。在解决类似问题时，我建议以下一般方法：

把证据写在纸上
使用Isar将证明形式化，提供尽可能多的细节，不太关心证明的长度。此外，尽量不要依赖自动推理工具（即
auto
，
blast
，
meson
，
metis
，
fastforce
）并尽可能多地使用直接方法，如
规则
和
简介
一旦您的
Isar
证明完成，将自动推理工具（例如
auto
，
blast
）应用到您的Isar证明中，以尽可能简化您的证明
当然，最终，当你在学习Isabelle方面取得进步时，省略1和2会变得越来越容易

我可以提供进一步的细节，例如完整的简短证明和长
Isar
版本的证明


更新

根据你在评论中的要求，我提供了一个非正式的证据

引理
m=min_列表（x#xs）⟹ M∈ 设置（x#xs）

备注。为完整起见，我还提供了
min_列表
的定义以及有关const
集合
的一些注释。
min_列表
的定义可以在理论
列表
中找到：

fun min_list :: "'a::ord list ⇒ 'a" where
"min_list (x # xs) = (case xs of [] ⇒ x | _ ⇒ min x (min_list xs))"

常量
集合
是隐式定义的，并且构成
列表
的
数据类型
基础结构的一部分（如果是Isabelle，请参阅标准文档中的文档“在Isabelle/HOL中定义（Co）数据类型和原始（Co）递归函数”）特别是，它被称为数据类型的“集合函数”。通过检查/搜索可以找到常量
集合
的许多基本属性，例如
查找定理列表.set
。我相信定理
thm列表.set
代表常量
集合
的主要属性（我冒昧地重命名了定理中的原理图变量）：

证明。证明是通过列表上的结构归纳法进行的。
xs
。归纳原则在理论
列表
的开头以一个未命名的引理陈述。为完整起见，我重申归纳原则如下：

“p[]⟹ (⋀列表.P列表⟹ P（名单）⟹ P列表“

基本情况：假设
xs=[]
，显示
m=min_列表（x#xs）⟹ M∈ set（x#xs）
用于所有
x
。从
min#u list
的定义来看，很容易看出
min#u list（x#[]）=x
。类似地，
set（x#[]）={x}
可以直接从常量
set
的属性中显示出来。替换到上面的谓词中，仍然需要说明
m=x>⟹ M∈ {x} 
适用于所有
x
。这源自基本集合论

归纳步骤：假设
⋀x、 m=最小列表（x#xs）⟹ M∈ 设置（x#xs）
，显示
m=min#u列表（a#x#xs）⟹ M∈ 为所有
a
、
x
和
xs
设置（a#x#xs）
。修复
a
、
x
和
xs
。假设
m=min\u列表（a#x#xs∈ 设置（a x x x xs）。给定<代码> m＝min列表（a x xx xs）< /> >，从<代码> min列表> /代码>的定义中，很容易推断出<代码> m＝a < /> >或<代码> m＝min列表（xxxs）。

案例一：
m=a
a∈ set（a#x#xs）
遵循定义。然后，
m∈ 通过替换设置（a#x#xs）
案例二：
m=minu列表（x#xs）
set [] = {}
set (?x # ?xs) = insert ?x (set ?xs)