Java 欧几里德算法是如何工作的？

我刚刚在课堂讲稿中找到了计算最大公约数的算法：

public static int gcd( int a, int b ) {
    while (b != 0) {
        final int r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

因此，r是将b除以a时的余数（得到mod）。然后将b分配给a，剩余的分配给b，并返回a。我一辈子都看不出这是怎么回事

然后，显然这个算法并不适用于所有情况，然后必须使用这个算法：

public static int gcd( int a, int b ) {
    final int gcd;
    if (b != 0) {
        final int q = a / b;
        final int r = a % b; // a == r + q * b AND r == a - q * b.
        gcd = gcd( b, r );
    } else {
        gcd = a;
    }
    return gcd;
}

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我不明白这背后的原因。我通常会使用递归，并且擅长Java，但这是我无法做到的。请帮忙？

他们是同等的。首先要注意的是，第二个程序中根本没有使用

q

。另一个区别是迭代与递归

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至于它为什么有效，上面链接的维基百科页面是好的。第一个示例特别有效地直观地传达了“为什么”，下面的动画演示了“如何”。

鉴于“q”从未被使用过，我看不出普通迭代函数和递归迭代函数之间有什么区别。。。两者都有

gdc(first number, second number)
  as long as (second number > 0) {
      int remainder = first % second;
      gcd = try(second as first, remainder as second);
  }
}

除非尝试将其应用于非整数，否则该算法在哪些情况下会失败

（有关详细信息，请参见）

这篇文章包含了一个解释，但很难立即找到它（此外，过程+证明并不总是回答“为什么它有效”的问题）

基本上可以归结为这样一个事实：对于两个整数a，b（假设a>=b），总是可以写出a=bq+r，其中r 如果d=gcd（a，b），那么我们可以写出a=ds和b=dt。所以我们有ds=qdt+r。因为左手边可以被d整除，所以右手边也必须被d整除。既然qdt可以被d整除，那么结论是r也可以被d整除

总结：我们有a=bq+r，其中r 由于a>=b>r，我们有两种情况：

如果r=0，那么a=bq，因此b除以b和a。因此gcd（a，b）=b

否则（r>0），我们可以将寻找gcd（a，b）的问题简化为寻找gcd（b，r）的问题，gcd（b，r）是完全相同的数字（因为a，b和r都可以被d整除）

为什么这是一个减少？因为r

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现在，r=a%b有望解释您的代码。

这里有一篇有趣的博文：

在讨论欧几里德算法背后的许多直觉时，它是用JavaScript实现的，但我相信，如果有人想要，将代码转换为Java并不困难。

是我发现的一个非常有用的解释

对于那些懒得打开它的人，它是这么说的：

考虑一个例子，当您必须找到（30841424）的GCD时。假设d是GCD。意思是d | 3084和d | 1424（用符号“|”表示“除数”）

因此d |（3084-1424）。现在，我们将尽可能减少这些可以被d整除的数字（在本例中是3084和1024），这样我们就可以得到0作为其中一个数字。记住GCD（a，0）是a

自d |（3084-1424）以来，d |（3084-2（1424）） 意思是d|236。
提示：（3084-2*1424=236）

现在忘掉初始数，我们只需要解d，我们知道d是除236，1424和3084的最大数。所以我们使用较小的两个数字继续，因为它会将问题收敛到0

d | 1424和d | 236意味着d |（1424-236）。 所以，d |（1424-6（236））=>d | 8

现在我们知道，d是最大的数，除以82361424和3084。再拿较小的两个，我们有

d | 236和d | 8，这意味着d |（236-8）。 因此，d |（236-29（8））=>d | 4

可被d整除的数字列表再次增加并收敛（数字越来越小，接近0）。现在，d是除以4，823614243084的最大数

采取同样的步骤

d | 8和d | 4表示d |（8-4）。 所以，d |（8-2（4））=>d | 0

可被d整除的数字列表现在是0、4、8、236、1484、3084。 （a，0）的GCD始终为a。所以，一旦你把0作为两个数字中的一个，另一个数字就是原始两个和所有介于两者之间的数字的gcd

这正是您的代码所做的。您可以将终端条件识别为GCD（a，0）=a

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另一步是找到这两个数字的剩余部分，并选择该数字和前两个数字中较小的一个作为新数字

你试过用谷歌搜索吗？这里有一个很好的解释：@Luc-这是什么意思？当然，并非所有的数学证明都是建设性的。哥德尔的不完全性定理是关于为什么有些东西不起作用的。