Algorithm 将自然数表示为不同平方和

问题是找到正整数的最大集合S，使得S元素的平方和等于给定的数字n

例如：

4=2²
20=4²+2²
38=5²+3²+2²
300=11²+8²+7²+6²+4²+3²+2²+1²

我有一个在时间

O（2^（sqrt n）*n）

中运行的算法，但是它太慢了（每个正方形的子集）。

有一个

O（n^1.5）

-时间算法，基于标准的动态程序。以下是重复出现的情况：

C(m, k) is the size of the largest subset of 1..k whose squares sum to m
C(m, k), m < 0 = -infinity (infeasible)
C(0, k) = 0
C(m, 0), m > 0 = -infinity (infeasible)
C(m, k), m > 0, k > 0 = max(C(m, k-1), C(m - k^2, k-1) + 1)

T(0, m) = 0
T(n, m) = -Infinity (if n<0 or m<0)
T(n, m) = max(T(n-m*m, m-1)+1, T(n, m-1))

C（m，k）是1..k的最大子集的大小，其平方和为m
C（m，k），m<0=-无穷大（不可行）
C（0，k）=0
C（m，0），m>0=-无穷大（不可行）
C（m，k），m>0，k>0=max（C（m，k-1），C（m-k^2，k-1）+1）

---

为

0..n

中的所有

m

和

0..floor（n^0.5）中的所有
k
计算
C（m，k）
。返回目标值的
C（n，下限（n^0.5））
。要恢复集合，请追溯argmaxes。
我只是想知道这个问题是否会归结为NP？看起来您的整数（平方）列表小于
n
（可以在
O（sqrt（n））
中生成），并且您正在查找从
1到sqrt（n）
的大小的子集和（检查所有可能性）。如果是这样的话，它应该可以用背包动态规划算法来解决（但这是一个非常幼稚的算法，我认为它可以改进）在
O（n^2）
-sqrt（n）的问题中检查次数sqrt（n）背包物品计数次数n背包重量

编辑：
我认为在填充动态编程数组后，使用智能回溯，您可以在
O（n*sqrt（n））
中执行回溯，您可以使用递归：

C(m, k) is the size of the largest subset of 1..k whose squares sum to m
C(m, k), m < 0 = -infinity (infeasible)
C(0, k) = 0
C(m, 0), m > 0 = -infinity (infeasible)
C(m, k), m > 0, k > 0 = max(C(m, k-1), C(m - k^2, k-1) + 1)

T(0, m) = 0
T(n, m) = -Infinity (if n<0 or m<0)
T(n, m) = max(T(n-m*m, m-1)+1, T(n, m-1))

所以问题是你想要一个更快的算法？不幸的是我的解决方案太慢了。你的问题不清楚，因为你根本没有提到。你给出的例子是错误的。300可以写成11²+8²+7²+6²+4²+3²+2²+1²。哎，你熟悉动态规划吗？你可以在任何一本好的算法书上读到。