Java 计算这些算法的大O复杂度？

我试图找出下面两种算法的大O符号，但遇到了麻烦

第一个是：

public static int fragment3 (int n){
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n*n; i *= 4)
  for (int j = 0; j < i*i; j++)
   sum++;
  return sum;
} //end fragment 3

当我尝试它时，我得到：

n^3

用于外部for循环。对于if语句，我得到

n

，对于第二个for循环，我得到

n+

另一个for循环和if语句，使其成为

n^5

。最后，对于最终的for循环，我得到了n，所有结果加起来都是O（n^6）

我做错了什么？获得复杂性的正确方法是什么？

第一种情况：

• 最后一次运行i=n^2的内部循环，运行n^4。外环最大可达n^2，但采用指数增长。对于求和，所有内部循环运行的总和，但最后一次小于最后一次运行。所以内环本质上是对O（1）的贡献

第二种情况：

• 100%n==0在O思维中并不重要
• 其他部分不重要，它比主要部分小得多
• 外部循环从0运行到n^3=>n^3
• 内部循环从0运行到n^6=>n^6
• 外循环乘以内循环=>n^9

第一种情况：

• 最后一次运行i=n^2的内部循环，运行n^4。外环最大可达n^2，但采用指数增长。对于求和，所有内部循环运行的总和，但最后一次小于最后一次运行。所以内环本质上是对O（1）的贡献

第二种情况：

• 100%n==0在O思维中并不重要
• 其他部分不重要，它比主要部分小得多
• 外部循环从0运行到n^3=>n^3
• 内部循环从0运行到n^6=>n^6
• 外循环乘以内循环=>n^9

---

您计算big-O的方法是完全错误的，您已经犯了计算错误

在一些常见情况下，您可以采用最坏情况下的迭代次数并将它们相乘，但这不是一种合理的方法，在以下情况下会失败：

for (i = 1; i < n; i *= 2) {
   for (j = 0; j < i; j++) {
      sum++;
   }
}

其中，2^k是小于n的两个的最大幂。该和为2^（k+1）-1，小于2n。因此，精确的复杂度为O（n）

将此想法应用于您的第一个示例：

for (int i = 1; i <= n*n; i *= 4)
    for (int j = 0; j < i*i; j++)
        sum++

---

现在根据

k

的定义，我们有

n^2/4<4^k你计算大O的方法是完全错误的，而且你已经犯了计算错误

在一些常见情况下，您可以采用最坏情况下的迭代次数并将它们相乘，但这不是一种合理的方法，在以下情况下会失败：

for (i = 1; i < n; i *= 2) {
   for (j = 0; j < i; j++) {
      sum++;
   }
}

其中，2^k是小于n的两个的最大幂。该和为2^（k+1）-1，小于2n。因此，精确的复杂度为O（n）

将此想法应用于您的第一个示例：

for (int i = 1; i <= n*n; i *= 4)
    for (int j = 0; j < i*i; j++)
        sum++

现在根据
k
的定义，我们有
n^2/4<4^k作为第一个

让我们看看内部循环

在外循环（i=1）的第一次迭代中，它运行1次。在第二次迭代（i=4）中，它运行16（4*4）次。在第三次迭代（i=16）时，它运行256（16*16）次。通常，在外循环的第（k+1）次迭代中，内循环运行时间与该次迭代相同。因此，迭代的总数将是


现在，我们总共有多少个数字？为了确定我们应该看一下外环。我在其中成长，直到它到达。所以迭代的总数是

这意味着内部循环的运行总数为

（删除总和中除最后一个之外的所有数字）

现在我们知道，内部循环至少运行了几次，所以我们的速度不超过O（n^4）

现在,


求N

其中C是一个常数，所以我们不比O（n^4）慢。
对于第一个

让我们看看内部循环

在外循环（i=1）的第一次迭代中，它运行1次。在第二次迭代（i=4）中，它运行16（4*4）次。在第三次迭代（i=16）时，它运行256（16*16）次。通常，在外循环的第（k+1）次迭代中，内循环运行时间与该次迭代相同。因此，迭代的总数将是


现在，我们总共有多少个数字？为了确定我们应该看一下外环。我在其中成长，直到它到达。所以迭代的总数是

这意味着内部循环的运行总数为

（删除总和中除最后一个之外的所有数字）

现在我们知道，内部循环至少运行了几次，所以我们的速度不超过O（n^4）

现在,


求N

其中C是常数，所以我们不比O（n^4）慢

(4^0)^2 + (4^1)^2 + ... + (4^k)^2
= 2^0 + 4^2 + ... + 4^2k
= 16^0 + 16^1 + ... + 16^k
= (16^k - 1) / 15