Java 网络流：添加新边缘

在最近的一次竞赛中，我被要求设计一个算法，

对于一个有V个顶点和E个边的网络，如果通过添加一条边（其容量应为1）来增加最大流量。

也就是说，我们必须设计这样一个算法来找到这样的边

算法应该比

O（| E |*h（| V | E |））

更快，其中

h（|V | E |）是计算最大流量所花费的时间

提前谢谢。如果不清楚，请告诉我。
根据最大流量最小切割定理[1]，网络中的最大流量等于最小切割中所有边权重的总和。因此，解决方案可能如下所示：


通过使用Edmonds-Karp算法（Ford-Fulkerson算法的一种特化）等方法，找到总边重
X
的最小切割。根据[1]，这是在
O（h | V | E |）
中
添加一条边，该边连接属于切割
（S，S'）
的不同分区的节点，即添加一条边
（u，v）
，其中
u
位于
S
中，
v
位于
S'
重复此操作，直到没有更多的切割具有总边缘重量
X
（菲利普所说的修正版本）计算最大流量。提取一个无容量限制的有向图，该图由具有正剩余容量的弧组成。当且仅当存在从源到尾和从头到汇的路径时，添加特定弧会增加最大流量，即弧的引入会创建一条增大路径

在你的例子
{s->a，a->b，a->c，a->d，b->t，c->t，d->t}
中，最大的流量是
s-3>a，a-1>b，a-1>d，b-1>t，c-1>t，d，d-1>t
，残差图有每个向后的弧
{a->{s，b->a，c->a，d->a，d->a，t，t-b，t-c，t>d
。从
s
可以到达的顶点是
{s}
，从
t
可以到达的顶点是
{t}
，因此唯一可以增加最大流量的单弧是
s->t
我认为解决方案可以是：

首先运行最大流算法。现在，我们有残差图G
然后我们找到所有边（u，v），这样在剩余图G中，我们可以找到从s到u的路径和从v到t的路径
最坏情况下的复杂性是O（|V|^2（|V|+|E|）+h（|V|E|））。
另一种解决方案可能是：

第一步。查找包含最小顶点数的最小切割（称其顶点为Vmin）

第二步。找到包含最大顶点数的最小切割（称其顶点为Vmax）

第三步。查找链接Vmin和V\Vmax但不是E的一部分的所有边

为什么这样做有效？（一） 如果新uv边包含在每个最小切割中（准确地说：如果它链接最小切割的不同组件），并且（II）最小切割的“组”与并集和交集很接近，则添加新uv边是好的

复杂性：

对于步骤1,2，我发现了以下不错的算法：。这可以用于查找具有最小和最大顶点的最小切割。这似乎是在h（| E | | V |）+O（| V | ^3）中运行的，当您检查BFS是否结束（即不再存在新的剩余相邻）时，O（| V | ^3）来自BFS

对于步骤3，当有O（|Vmin |*| V\Vmax |）时，即为O（| V | ^2）

因此，步骤1,2,3=h（| E | V |）+O（| V |^3）

请注意，这只是一个简单的示意图：）
我认为这并不总是可行的。考虑下面的情况：<代码> {S-＞A，A-＞B，A-＞C，A-＞D，B＞T，C＞T，D＞T } <代码> >边>代码> S-＞A < /代码>权重3，所有其他边具有权重1。然后，在s和s'中分别有{s，a}，{b，c，d，t}。现在从
a->t
添加边仍然不会增加最大流量。@凯文：你的切割权重为3，但切割权重为1:S={S}，S'={a，b，c，d，t}。不过，并不是所有的边都能增加最大流量。@ErikP。边
s->a
的权重为3，如我在第一条评论中所述。所以你考虑的重量也会是3。因此，我的切割也是有效的，然后算法在这种情况下失败。我说的对吗？对不起，我不知怎么错过了“重量3”部分。你说得对。我不明白你的复杂性计算。它不应该是
O（| V | ^3+h（| E | V |）吗
，因为我们只是试图在
O（| V |）中找到从s到u和从V到t的路径，每个可能边的时间，即
O（| V | ^2）
对不起，我弄错了。第一步（查找最大流）的复杂性是h（| E | V |）。对于第二步，我们必须检查所有顶点对（u，v）；对于每一对（u，v），我们必须在残差图中运行BFS（或DFS）以找到从s到u和v到t的路径。BFS的复杂性是O（| v |+| E |）。因此，第二步的复杂性是O（| v | ^2（| v |+| E |））。