Java 在正方形内生成N个点（均匀）

我想在一个正方形内生成N个点（均匀）。

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我怎样才能做到这一点呢？

这是一个非常酷的问题，比我想象的要困难得多，但我的想法是这样的。有关于n-gons的文件，但我只做正方形。因此，圆的均匀分布是一个常见的问题，你不能单独采样半径，

r

，角度，

θ

，因为较大半径的权重较大，即如果我们取一个无限小的环空，由于面积是

r^2

的函数，因此我们从距离中心较远的较大半径处获得了更多面积，因此我们从

r^2

进行了统一采样

现在，矩形的想法类似，它的对称性可以通过旋转（角度）和与原点的距离（半径）来捕捉，但请注意，当你围绕一个圆旋转时，半径会发生剧烈变化，先上后下。我们需要一种基于角度来规定半径的方法，这样它在任意给定点的质量都是均匀的

考虑以下构造（我们可以确定正方形的方向，使其位于其一侧，但这更直观）对不起，我的图表绘制得不好

                             A

                                  X

                  B          O          C



                             D

这是我们的正方形，A，B，C，D是角，O是原点。我们稍后会解释X。让我们从点C开始，逆时针旋转，角度将表示为θ。如果我们以θ角从O开始画一条线，那么X是与正方形边缘的交点。换句话说，X=r（θ）。我们要做的是把距离r作为θ的函数，使之成为θ的均匀概率分布。这就是全部的想法

我们可以用正弦定律写出下面的内容

Sin(pi - Theta - pi/4)/c = sin(pi/4)/r(Theta) where C sits at (c,0)

做一些代数运算，得出结论

r(Theta) = sqrt(2)*c / (2sin(3pi/4 - Theta)

现在我们需要一个常数k，这样积分k*r（θ）会得到1，这很容易做到

我得到

a*sin(pi/4)ln|tan((Theta+pi/4)/2)| evaluated from 0 to pi/4

您已经成功地为r（θ）构建了p.d.f.（概率分布函数），现在计算c.d.f.（累积分布函数），将其设置为均匀，并获得θ的闭合形式表达式

到目前为止，我们已经构建了随机θ，来构建半径r，意识到就像一个圆，我们离得更远，质量更大，我们可以将它构建为

R=R（θ）/s

其中s在0到1之间是一致的

---

我们使用

r（θ）

，因为它是给定θ的最大可能值

这个问题很酷，比我想象的要困难得多，但我的想法是这样的。有关于n-gons的文件，但我只做正方形。因此，圆的均匀分布是一个常见的问题，你不能单独采样半径，

r

，角度，

θ

，因为较大半径的权重较大，即如果我们取一个无限小的环空，由于面积是

r^2

的函数，因此我们从距离中心较远的较大半径处获得了更多面积，因此我们从

r^2

进行了统一采样

现在，矩形的想法类似，它的对称性可以通过旋转（角度）和与原点的距离（半径）来捕捉，但请注意，当你围绕一个圆旋转时，半径会发生剧烈变化，先上后下。我们需要一种基于角度来规定半径的方法，这样它在任意给定点的质量都是均匀的

考虑以下构造（我们可以确定正方形的方向，使其位于其一侧，但这更直观）对不起，我的图表绘制得不好

                             A

                                  X

                  B          O          C



                             D

这是我们的正方形，A，B，C，D是角，O是原点。我们稍后会解释X。让我们从点C开始，逆时针旋转，角度将表示为θ。如果我们以θ角从O开始画一条线，那么X是与正方形边缘的交点。换句话说，X=r（θ）。我们要做的是把距离r作为θ的函数，使之成为θ的均匀概率分布。这就是全部的想法

我们可以用正弦定律写出下面的内容

Sin(pi - Theta - pi/4)/c = sin(pi/4)/r(Theta) where C sits at (c,0)

做一些代数运算，得出结论

r(Theta) = sqrt(2)*c / (2sin(3pi/4 - Theta)

现在我们需要一个常数k，这样积分k*r（θ）会得到1，这很容易做到

我得到

a*sin(pi/4)ln|tan((Theta+pi/4)/2)| evaluated from 0 to pi/4

您已经成功地为r（θ）构建了p.d.f.（概率分布函数），现在计算c.d.f.（累积分布函数），将其设置为均匀，并获得θ的闭合形式表达式

到目前为止，我们已经构建了随机θ，来构建半径r，意识到就像一个圆，我们离得更远，质量更大，我们可以将它构建为

R=R（θ）/s

其中s在0到1之间是一致的

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我们使用

r（θ）

，因为它是给定θ的最大可能值

这个问题很酷，比我想象的要困难得多，但我的想法是这样的。有关于n-gons的文件，但我只做正方形。因此，圆的均匀分布是一个常见的问题，你不能单独采样半径，

r

，角度，

θ

，因为较大半径的权重较大，即如果我们取一个无限小的环空，由于面积是

r^2

的函数，因此我们从距离中心较远的较大半径处获得了更多面积，因此我们从

r^2

进行了统一采样

现在，矩形的想法类似，它的对称性可以通过旋转（角度）和与原点的距离（半径）来捕捉，但请注意，当你围绕一个圆旋转时，半径会发生剧烈变化，先上后下。我们需要一种基于角度来规定半径的方法，这样它在任意给定点的质量都是均匀的

考虑以下构造（我们可以确定正方形的方向，使其位于其一侧，但这更为复杂）