Java 重建图以找到小于初始最短路径的优化图的数目

我有一个图G={V，E}，带加权边（所有正整数），我有这个图从源顶点a到目标顶点B的最短路径（假设这个最短路径等于100），通过Dijkstra的算法找到

我想找出所有方法，用相同数量的边和节点重建这个图，但修改节点之间的连接，使其成为绝对最短的，直到我再次达到100（没有重建的旧最短路径）

例如，我可以用一个连接到Z的权重为1的图重建，因此我的最短路径为1，这是重建图的一种方式。另一种方法是A到B到Z，每条边上的权重为1，使总路径的距离为2。然而，我还想计算一条路径，我们可以用A到Z的权重2…99来重建，这仍然满足这个路径比第一条路径短的条件（100）

我试图找出一种方法，找到所有可能被“重建”的路径，这些路径的距离比初始图中的初始最短路径要小

唯一的限制是，我仍然必须使用第一个图形中的所有顶点和边，但我可以将权重和边更改为使最短路径比以前更短的任何组合

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编辑：目标不是找到最短路径，但是，可以使用从a到Z的路径重建的图形的最大数量小于初始图形从a到Z的最短路径。请参阅下面的注释以获得进一步说明。

这听起来像一个指数问题，因为您可以在源节点和目标节点之间任意添加任意数量的边，这是最简单的情况，所有边都有权重（1）

为了便于讨论，让我们将问题简化为两组图，一组图的所有边的权重为1，另一组图的所有边的权重为2，目标加权路径“t”为100

为了显示最坏的情况，让我们确保有大量节点，因此对于任何给定的集合，我们将假设有大量节点“n”可供选择

n>t/w

因此，第一组中使用的节点数有一个n>100+1的图，而对于第二组节点，该图必须有n>50+1，依此类推

对于具有100+1个节点且边权重为1的图形，可以从节点a开始，然后为下一条边选择任何剩余节点。从这里，您可以重复选择下一个节点98多次，然后直接从当前节点连接到第100条边的节点Z。因为在这种情况下，我们不允许1以外的循环或权重，所以我们就完成了。这假设我们可以选择的节点数量有限。对于边权重为1的一组图，有100个阶乘（100！）答案满足您的标准。这将成为一个组合问题，特别是如果节点数超过目标路径长度（n=200），那么它将变得更大，因为您可以从100个节点的多个集合中进行选择以生成最终路径

对于边权重为2的图，执行相同的操作，但需要较少的节点（50+1），但最终得到类似的结果50！。现在，对最大为100的所有边权重（连接a和Z的单条边）执行此操作，您就拥有了一组具有均匀边权重的所有路径，这些路径的总和达到了目标长度

因此，对于一组具有均匀边权重的图，这些图可以被均匀地整除为100，最终将得到最大数量的图

100！+50! + 25! + 20! + 10! + 5! + 4! + 2! + 一,

从这里开始，仍然有所有权重不均匀的路径。但您仍然可以从将非均匀权重组分解为子组开始

当边权重不能均匀地除以100时，仍然可以得到一个值，例如，边权重3为（33！+1），表示33条边的权重为3，一条边的权重为1，而边权重6为（16！+4），表示16条边的权重为6，一条边的权重为4。我们可以称之为双权图

在这一点上，组合学听起来是你最好的选择

例如，您可以说有n-1种方法可以将A和Z与权重为100的单个节点连接起来。我不知道如何在Stackoverflow上正确显示它，但你是说从一组n-1中选择1

然后找到所有图，这些图从a到某个任意节点p有一条权重为99的路径，然后从p到目标节点Z有另一条权重为1的边。因此，可以从#节点-2中选择第一条边（不包括源节点和目标节点）第二条边是给定的，因为它必须连接到Z，这给了我们

（n-2）！+一,

这归结为“从一组n-2中选择1，然后添加1”。一旦你过了这一关，它就会变得非常难看，因为开始有不止一种方法来选择剩下的边

下一种情况是选择一个权重为98的节点，然后找到总权重为2的图集

从一个有2个节点的图开始，然后再从这里开始开发一个通用的方法可能会更简单

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基本上，您必须同时从剩余的边数和边权重中进行选择，以获得所有可连接的图集，给出给定值的路径长度。

1）当您说“重建”路径时，其距离小于初始最短路径，你是说用Dijkstra找到的最短加权路径吗？或者你的意思是不考虑权重的最短路径？（例如：在同一个图上使用Dijkstra，但所有边都有权重1）。@KellyS.French我的意思是最短加权路径。对不起，我的意思模棱两可。2）