Algorithm 图论-全局最小割及其意义

给定一个加权有向图，我们想找到全局最小割，也就是说，一组边，如果去掉它，将图分成两半，并且与任何其他此类割相比，它的总权重最小

现在，尽管下面的方法似乎有效，但我被告知这个推理是错误的。但坦率地说，我不知道他有多确定，也不确定他有多确定：

考虑由全局最小割（即s-t割，其中U中的s，V中的t）分隔的节点集

U，V

）。注意：我们不关心从

V

到

U

的边缘

对于u中的任何

u，v中的v

m，u-v-cut不能小于

s-t-cut

，否则，s-t-cut不会（全局）最小。出于同样的原因，

u

中的两个顶点或

V

中的两个顶点之间的切割不能更小

另一方面，u-v-cut也不能更大，否则，它需要包括一些边

u->v

，而不是s-t-cut的一部分，这意味着s-t-cut根本不是切割

因此，任意固定

s

并迭代所有其他顶点

x

就足够了

s

在

U

中，如果

x

在

V

中，则s-x-cut对应于全局最小值；如果

s

在

V

中且

x

在

U

中，则x-s-cut对应于全局最小值。如果它们都是同一集合的一部分，则切割将至少与全局最小值一样大（但可能更大）

因此，我们最终将通过计算两者来找到全局最小值，并跟踪到目前为止遇到的最小切割

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这对我来说似乎很有意义。我错了吗？如果是，为什么？

我的理解是，你基本上是在问以下问题：

通过固定任意顶点s并计算所有顶点t的所有s-t和t-s最小割，我们能找到全局最小割吗s

答案是肯定的，而且很容易证明：考虑一个全局最小割（u，v）与值c。 案例1：s以U表示。根据最小切割的定义，我们有V！={}，所以在V中有一个顶点t。那么（U，V）是一个有效的s-t割，所以最小s-t割的最大值是C

情况2：s在V中。然后U中存在一个顶点t，与上述相同的参数适用于最小t-s割

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例如，描述了该算法。

假设

s

在

U

中，

x

在

V

中。为什么

s

-

x

切割对应于全局最小值？全局最小切割必须同时从

V

中的所有顶点分离

s

，并且可能与最小

s

-

x

切割无关。抱歉，我仍然没有看到它。你能举一个不是这样的例子吗？不确定这是否是你所要求的，但可以，通过固定一个顶点s并计算所有顶点t的所有s-t和t-s最小割s、 您最终将找到一个全局最小切割。然而，运行时间将是Ω（n*（计算最小s-t切割的时间）），这不是很好。这个例子有用吗？边={（s，a，2），（s，b，1），（a，b，1），（b，a，1），（a，c，1），（b，c，2）}。存在多个权重为3的全局最小切割，但从

s

到其他顶点的最小切割的权重为1或2。@TedHopp Ok不必删除我以前的注释。因此，在您的示例中，全局最小切割将是权重为0的（{c}，{a，b，s}）（因为从c到任何其他顶点都没有边）。但这也是一个c-s权重为0的切割，所以这并不矛盾，我的问题是我们为什么可以这样做。麻省理工学院的课堂讲稿——感谢链接——简单地说我们可以做到，但没有说明原因。我看不出和我写的有什么区别，所以我只想问：wlog假设s在U中。这是否意味着U在U中，v在v中的任何最小U-v切割都必须有值C？为什么？“这是否意味着任何最小u-v-cut，其中u在u中，v在v中，必须有值C或者没有”是的，它有。因为（U，V）是一个有效的U-V割，根据s-t割的定义，它的值是C