Java 恒定时间/空间复杂性概念的混淆

我对恒定时间/空间复杂性的概念感到困惑

例如：

public void recurse(int x) {
    if(x==0) return;
    else recurse(x/10);
}

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其中，1恒定时间或空间意味着算法使用的时间和空间不依赖于输入的大小

恒定时间（因此O（1））算法

public int square(int x){
    return x * x;
}

因为对于任何输入，它都进行相同的乘法运算，并且结束了

另一方面，对数组中的所有元素求和

public int sum(int[] array){
    int sum = 0;
    for(int i : array) sum += i;
    return sum;
}

需要O（n）个时间，其中n是数组的大小。它直接取决于输入的大小

空间复杂性的表现是相同的

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任何不依赖于任何输入大小的东西都被认为是常数。

当你的算法不依赖于输入大小时，它被认为具有恒定的时间复杂度。例如：

function print(int input) {
  // 10 lines of printing here

}

在这里，无论您作为“输入”传入什么，函数体语句都将始终运行10次。如果将“input”传递为10，则运行10条语句。如果将“input”传递为20，则仍将运行10条语句

现在，另一方面，考虑一下：

function print(int input) {

  // This loop will run 'input' times
  for(int i=0;i<input;i++){
      System.out.println(i);
   }

}

功能打印（int输入）{
//此循环将运行“输入”次
对于（int i=0；i在分析算法的时间和空间复杂性时，我们必须忽略物理计算机的一些限制；复杂性是“输入大小”的函数n，在大O表示法中是一个渐近上界，因为n趋于无穷大，但物理计算机当然不能对任意大的n运行算法，因为它有有限的内存和其他存储

因此，为了以一种有意义的方式进行分析，我们在一种虚构的计算机上分析算法，在这种计算机上，数组的长度没有限制，整数可以“足够大”为了使算法工作，等等。您的Java代码是该算法的具体实现，但该算法作为一个抽象概念存在，超出了Java在真实计算机上可能实现的范围。因此，在没有此类限制的虚拟计算机上运行此抽象算法，空间复杂度为O（logn）

这种“虚拟计算机”可能听起来有点模糊，但它可以通过数学形式化，以便严格地进行分析；它被称为a。在实践中，除非你在做学术研究，否则你不需要严格地分析算法，因此更有用的是接受模糊的概念，即你应该忽略任何限制这将阻止算法在任意大的输入上运行。
这实际上取决于您为什么使用大O表示法

从技术上讲，如果任何算法只适用于有限数量的可能输入，那么它就是O（1）。例如，这将是一个O（1）排序算法：“读取输入的前10^6位。如果输入中还有更多位，则输出“错误”。否则，则为bubblesort。”

但这种表示法的好处在于，它通常很好地近似于程序的实际运行时间。虽然O（n）算法也可以执行10^100*n运算，但通常情况并非如此，这就是为什么我们使用大O表示法的原因。这种规则的例外情况称为，最著名的是

总而言之，如果你想成为一名技术人员并赢得与朋友的争论，你可以说你的算法是O（1）。如果你想实际使用界来近似它的速度，你应该做的是想象它适用于任意大的数字，并将其称为O（log（n））

旁注：将此算法称为O（log（n））有点不正式，因为从技术上讲，复杂性需要用输入的大小来表示，而不是用输入的大小来表示，因此它是O（n）。经验法则是：如果你处理的是小数字，请用大小来表示复杂性-每个人都会理解。如果你处理的是可能有数百万位数的数字，请用长度来表示复杂性。在这种情况下，乘法等“简单”运算的成本（对于较小的数字，通常被认为是O（1））也需要考虑在内。
正如您所发现的，将渐近复杂性应用于真实世界是一件棘手的事情

渐近复杂性处理输入大小N没有上限的抽象情况，您只关心任意大的输入大小会发生什么

在现实世界中，在您感兴趣的实际应用程序中，输入大小通常有一个上限。上限可能是因为您没有无限的资源（时间/金钱）来收集数据。也可能是技术限制造成的，例如Java中固定大小的
int
数据类型

由于渐近复杂性分析没有考虑现实世界的限制，
recurse（x）
的渐近复杂性是O（logx）。尽管我们知道x只能增长到2^31。
（1）和（2）是一样的。你可以除以10的次数是小数位数。你的函数是O（logn））。