Java 测试二叉树是否平衡的时间复杂性

下面的代码测试二叉树是否平衡。我被告知它的运行时间是O（n logn）

据我所知

• getHeight（）

  访问每个节点一次，因此是O（n）

• isBalanced（）

  调用

  getHeight（）

  。。然后再出现

如果在所有n个节点上调用了

isBalanced（）

，并且它调用了

getHeight（）

，这是O（n），那么复杂性为什么不是O（n²）

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n表示整个树中的节点数。在这种情况下，在根节点上调用

getHeight

方法时，该方法仅为O（n）。通常，它是O（m），其中m是您调用

getHeight

on的节点的子树中的节点数；大多数子树都比n小得多。这是你困惑的根本原因

当左右子树的高度相差2或更多时，

isBalanced

方法会提前返回，而不会递归。因此，我们只需要计算左右高度相差最多1的节点的递归调用，即子树平衡的节点。在最坏的情况下，所有节点的子树都是平衡的，因此我们永远不会提前停止递归

鉴于此，我们假设树是平衡的。然后每个节点调用一次

getHeight

，运行时间与节点子树的大小成比例。对于大小为n=2^k-1的平衡树，有：

• 2^（k-1）子树大小为1的叶节点
• 2^（k-2）个大小为3的子树
• 2^（k-3）个大小为7的子树
• 大小为2^（k-i）-1的2^i子树
• 2个大小为2^（k-1）-1的子树
• 1个大小为2^k-1=n的子树

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这些总和是2^i*（2^（k-i）-1）中i=0到k-1的总和。每个项约为2^k=n，有k=log_2n项，总复杂度为n*log_2n=O（n logn）。

您所说的是正确的，但不完整。递归多少次？递归isBalanced（）是否也会访问树中的每个节点？请浏览代码，查看在最坏的情况下，当树处于平衡状态时，在每个节点上调用递归方法。

int getHeight(TreeNode root) {
    if (root == null) return -1; 
    return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
}

boolean isBalanced(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    int heightDiff = getHeight(root.left) - getHeight(root.right);
    if (Math.abs(heightDiff) > 1) 
        return false;
    else
        return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);

}