Julia 如何计算矩阵作为向量保存的矩阵乘法

我有两个对称矩阵

A

，

B

和一个向量

X

。

A

的维度是n乘n，

B

的维度是n乘n，

X

的维度是n乘1。让矩阵

A

的

i

th行和

j

th列的元素用

A[i，j]

表示

由于

A

是对称的，因此只保存

A

的上三角矩阵的每一列。矩阵

A

保存为数组：

Vector_A = [A[1,1],
            A[1,2], A[2,2],
            A[1,3], A[2,3], A[3,3],
            A[1,4], A[2,4], A[3,4], A[4,4],
            ...,
            A[1,n], A[2,n], ..., A[n,n]]

矩阵

B

以与矩阵

A

相同的格式保存。现在我想计算

ABA

而不将

向量A

，

向量B

转换回矩阵

A，B

。由于

ABA

也是对称的，因此我希望以与数组相同的方式保存

ABA

。我怎样才能在朱莉娅身上做到

---

我还想计算

X'AX

而不将

向量A

转换回矩阵

A

，其中

X'

表示

转置（X）

。如何在Julia中实现它？

您需要实现自己的数据结构，这些数据结构继承自

AbstractMatrix

类型

例如，这可以通过以下方式实现：

struct SymmetricM{T} <: AbstractMatrix{T}
    data::Vector{T}
end

在此代码中，每次对矩阵执行检查边界时，将计算nr。也许在您的生产实现中，您可能希望将其移动为

SymmetricM

的一个字段。你可以增加一些弹性，多存储8个字节，但速度会有所提高

现在我们需要的下一个函数是根据矩阵指数计算向量的位置。下面是一个可能的实现

function getix(idx)::Int
    n = size(m)[1]
    row, col = idx
    #assume left/lower triangular
    if col > row
        row = col
        col = idx[1]
    end
    (row-1)*row/2 + col
end

现在我们可以实现

getindex

和

setindex

功能：

@inline function Base.getindex(m::SymmetricM, idx::Vararg{Int,2})
    @boundscheck checkbounds(m, idx...)
    m.data[getix(idx)]
end

@inline function Base.getindex(m::SymmetricM{T}, v::T, idx::Vararg{Int,2}) where T
    @boundscheck checkbounds(m, idx...)
    m.data[getix(idx)] = v
end

现在让我们测试一下这个东西：

julia> m = SymmetricM(collect(1:10))
4×4 SymmetricM{Int64}:
 1  2  4   7
 2  3  5   8
 4  5  6   9
 7  8  9  10

您可以看到，我们只提供了一个三角形的元素（无论是下三角形还是上三角形，它们都是相同的），我们得到了完整的矩阵

这确实是一个完全有效的Julia矩阵，因此所有矩阵代数都应该使用它：

julia> m * SymmetricM(collect(10:10:100))
4×4 Array{Int64,2}:
  700   840  1010  1290
  840  1020  1250  1630
 1010  1250  1580  2120
 1290  1630  2120  2940

请注意，乘法的结果是一个矩阵，而不是

SymmetricM

——要获得

SymmetricM

，需要重载

*

运算符以接受2个

SymmetricM

参数。为了便于说明，让我们展示一个带有减号的自定义运算符重载

-

：

import Base.-
-(m1::SymmetricM, m2::SymmetricM) = SymmetricM(m1.data .- m2.data)

现在您将看到，对

SymmetricM

的减法将返回另一个

SymmetricM

：

julia> m-m
4×4 SymmetricM{Int64}:
 0  0  0  0
 0  0  0  0
 0  0  0  0
 0  0  0  0

这样你就可以在Julia中建立一个完整的三角矩阵代数系统

---

但是请注意，

getix

函数有一个

if

语句，因此不使用

data

字段访问

SymmetricM

元素的速度要比常规矩阵慢得多，因此您可能应该尝试重载项目所需的尽可能多的运算符。

是否确实需要有效地存储矩阵？整个阵列的常规内存布局可能会超过性能优势。但是如果你真的需要节省内存，你最好写一个新的

高效对称{T}AFAIK，Julia有稀疏矩阵类型。因此，与其建立自己的优化布局，也许你所需要做的只是使用稀疏矩阵。我上次考虑这一点是在我的软件包中处理算法模型置信集时。我通过两种方式实现了算法：1）只存储矩阵的上三角部分以节省内存；2）存储整个矩阵，这会占用两倍的内存，但允许我使用BLAS例程。第二种算法运行速度明显更快。第一种选择可能确实更适合您的问题，但至少值得研究第二种选择。
julia> m-m
4×4 SymmetricM{Int64}:
 0  0  0  0
 0  0  0  0
 0  0  0  0
 0  0  0  0