Logic Lean中的一些基本命题逻辑证明

我只是通读了精益的文档，并尝试做了，
还没有完成所有的工作，但这里是前四个练习（没有经典推理）：

变量pqr:Prop

--交换性∧ 和∨
例：p∧ Q↔ Q∧ p:=对不起
例：p∨ Q↔ Q∨ 对不起

--关联性∧ 和∨
例：（p∧ q）∧ R↔ P∧ （q）∧ r） ：=对不起
例：（p∨ q）∨ R↔ P∨ （q）∨ r） 对不起

以下是我为前四个练习所做的：

variables p q r : Prop

-- commutativity of ∧ and ∨
example : p ∧ q ↔ q ∧ p := 
iff.intro
  (assume h : p ∧ q,
    show q ∧ p, from and.intro (and.right h) (and.left h))
  (assume h : q ∧ p,
    show p ∧ q, from and.intro (and.right h) (and.left h))

example : p ∨ q ↔ q ∨ p :=
iff.intro
  (assume h : p ∨ q,
  show q ∨ p, from 
  or.elim h
     (assume hp : p,
       show q ∨ p, from or.intro_right q hp)
     (assume hq : q,
       show q ∨ p, from or.intro_left p hq))
  (assume h : q ∨ p,
  show p ∨ q, from 
  or.elim h
     (assume hq : q,
       show p ∨ q, from or.intro_right p hq)
     (assume hp : p,
       show p ∨ q, from or.intro_left q hp))

-- associativity of ∧ and ∨
example : (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r) := 
iff.intro
  (assume h: (p ∧ q) ∧ r,
    have hpq : p ∧ q, from and.elim_left h,
    have hqr : q ∧ r, from and.intro (and.right hpq) (and.right h),
    show p ∧ (q ∧ r), from and.intro (and.left hpq) (hqr))
  (assume h: p ∧ (q ∧ r),
    have hqr : q ∧ r, from and.elim_right h,
    have hpq : p ∧ q, from and.intro (and.left h) (and.left hqr),
    show (p ∧ q) ∧ r, from and.intro (hpq) (and.right hqr))

example : (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) :=
iff.intro
  (assume hpqr : (p ∨ q) ∨ r, 
    show p ∨ (q ∨ r), from or.elim hpqr
      (assume hpq : p ∨ q,
        show p ∨ (q ∨ r), from or.elim hpq
          (assume hp : p,
            show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_left (q ∨ r) hp)
          (assume hq : q,
            have hqr : q ∨ r, from or.intro_left r hq,
            show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_right p hqr))
      (assume hr : r,
        have hqr : q ∨ r, from or.intro_right q hr,
        show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_right p hqr))
  (assume hpqr : p ∨ (q ∨ r),
    show (p ∨ q) ∨ r, from or.elim hpqr
    (assume hp : p,
      have hpq : (p ∨ q), from or.intro_left q hp,
      show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_left r hpq)
    (assume hqr : (q ∨ r),
      show (p ∨ q) ∨ r, from or.elim hqr
        (assume hq : q,
          have hpq : (p ∨ q), from or.intro_right p hq,
          show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_left r hpq)
        (assume hr : r,
          show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_right (p ∨ q) hr)))

---

我认为这是有效的，但它相当长，这是我们能做的最好的，还是有更好的方法用精益编写这些证明，任何建议都将不胜感激。

如果您导入精益的数学，那么tauto的策略

应该解决所有这些问题。此外，这些都已经是库定理，它们的名称类似于
和\u comm

我不认为有任何简短的证据可以证明这些来自第一原理的陈述。缩短部分校样的唯一方法是删除
have
s和
show
s，并降低它们的可读性。这是我对
或
的证明，基本上与你的相同，但没有
have
s和
show
s

example : (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) :=
iff.intro 
  (λ h, or.elim h (λ hpq, or.elim hpq or.inl (λ hq, or.inr (or.inl hq))) (λ hr, or.inr (or.inr hr)))
  (λ h, or.elim h (λ hp, (or.inl (or.inl hp))) (λ hqr, or.elim hqr (λ hq, or.inl (or.inr hq)) or.inr))

如果你导入Lean的数学，那么tauto的策略
应该解决所有这些问题。此外，这些都已经是库定理，它们的名称类似于
和\u comm

我不认为有任何简短的证据可以证明这些来自第一原理的陈述。缩短部分校样的唯一方法是删除
have
s和
show
s，并降低它们的可读性。这是我对
或
的证明，基本上与你的相同，但没有
have
s和
show
s

example : (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) :=
iff.intro 
  (λ h, or.elim h (λ hpq, or.elim hpq or.inl (λ hq, or.inr (or.inl hq))) (λ hr, or.inr (or.inr hr)))
  (λ h, or.elim h (λ hp, (or.inl (or.inl hp))) (λ hqr, or.elim hqr (λ hq, or.inl (or.inr hq)) or.inr))

只是另一个想法。对于我（也是LEAN的初学者）来说，如果我把校样分解成更小的部分，阅读校样会更容易。下面的代码片段证明了在几个步骤中使用策略编写的第二个交换性属性

--- 2) Prove p ∨ q ↔ q ∨ p
-- Easier if using these results first:
theorem LR2_11 : p → p ∨ q :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_left q hp
end
#check LR2_11 
theorem LR2_12 : p → q ∨ p :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_right q hp
end
#check LR2_12 
theorem LR2_2 : p ∨ q → q ∨ p :=
begin
    intros p_or_q, 
    exact or.elim p_or_q (LR2_12 p q) (LR2_11 q p)
end
theorem Comm2_2 : p ∨ q ↔ q ∨ p :=
begin
    exact iff.intro (LR2_2 p q) (LR2_2 q p)
end
#check Comm2_2

只是另一个想法。对于我（也是LEAN的初学者）来说，如果我把校样分解成更小的部分，阅读校样会更容易。下面的代码片段证明了在几个步骤中使用策略编写的第二个交换性属性

--- 2) Prove p ∨ q ↔ q ∨ p
-- Easier if using these results first:
theorem LR2_11 : p → p ∨ q :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_left q hp
end
#check LR2_11 
theorem LR2_12 : p → q ∨ p :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_right q hp
end
#check LR2_12 
theorem LR2_2 : p ∨ q → q ∨ p :=
begin
    intros p_or_q, 
    exact or.elim p_or_q (LR2_12 p q) (LR2_11 q p)
end
theorem Comm2_2 : p ∨ q ↔ q ∨ p :=
begin
    exact iff.intro (LR2_2 p q) (LR2_2 q p)
end
#check Comm2_2